Congruencias en mínimo común
Halla
a positivo y más pequeño posible tal que:
a) 1234=a(5)
b) 2^240=a(3)
1 respuesta
Supongo que con el número del paréntesis quieres decir el módulo de la congruencia. Yo me he pegado días y días decidiendo un símbolo escribible con el teclado para las congruencias (el de las tres rayitas)
He divagado con estos, usando unas veces uno y otras otro
:~
~:
:=
#
Usaré la almohadilla.
Entonces preguntas el a positivo y mínimo tal que:
a) 1234 # a (mod 5)
Los números congruentes módulo 5 se obtienen sumando o restando múltiplos de 5. Restaremos a 1234 el mayor múltiplo de 5 que se pueda restar sin que el resultado sea negativo.
1230 es múltiplo de 5 por acabar en 0
1234 - 1230 = 4
Si restáremos el siguiente, 1235, ya daría resultado negativo.
Luego
1234 # 4 (mod 5)
a=4
b) 2^240 # a (mod 3)
Primero veamos cual es el ciclo de restos módulo 3 de las potencias de 2
2^1 = 2
2^2 = 4 # 1 (mod 3)
2^3 = 8 # 2 (mod 3)
Ya no es necesario más, cuando se repite un resto se ha comenzado un ciclo nuevo. Luego tenemos que las potencias impares son congruentes con 2 y las pares con 1
Por lo tanto
2^240 # 1 (mod 3)
a=1
Y eso es todo.
