Algoritmo de la división...

1. Probar que si a y b son enteros, con b > 0, entonces existen enteros unicos q y r tales que
a = bq + r                  2b <= r < 3b.
Si "a" es positivo hagamos la división de toda la vida y quedará:
a = bc + s
con 0 <= s < b
Si tomamos
q = c - 2
r = s + 2b  con  2b <= r <= 3b
tendremos los "q" y "r" que se piden
bq+r = b(c-2) - s + 2b = bc - 2b - s + 2b = bc-s = a
Supongamos existen otros "d" y "t" tales que
a = db + t   con 2b <= t < 3b
si d <> c entonces  t=r-b(d-c) y "t" se saldrá de los límites 2b y 3b
No creo que haya ninguna dificultad en demostrarlo cuando a sea negativo, te lo dejo a ti.
-------------------------------------------------------------------------
2. Pruebe que cualquier entero de la forma 6k + 5 es también de la forma 3k + 2. ¿El reciproco se cumple?
Igualemos
6k+5 = 3j+2  ==> 6k+3 = 3j  ==> j = 2k+1
Luego si, basta tomar j=2k+1 y el entero de la forma 6k+5 se puede expresar como 3j+2
Para el recíproco habría que despejar k en la igualdad anterior
6k + 5 = 3j+2 ==> 6k = 3j - 3  ==> k= (j-1)/2
cuando j sea par k no será entero, luego no es cierto el contrarecípro
----------------------------------------------------------------------------
3. Demuestre que 3a^2 - 1 nunca es un cuadrado perfecto.
3a^2 -1 + (a^2+1) - (a^2 +1)
-----------------------------------------------------------------------------
4. Verifique que si un entero es simultaneamente un cuadrado y un cubo (por ejemplo, 64 =  8^2 = 4^3), entonces este tiene la forma 7k o 7k + 1.
Si un número es cuadrado perfecto entonces sus factores primos tienen todos exponente par. Si es cubo perfecto todos los exponentes son múltiplos de tres. Si es simultáneamente las dos cosas todos los factores primos tendrán exponentes múltiplos de seis.
Es decir a = b^6 con b entero
Luego a será la multiplicacion de b seis veces.
Ahora tomemos "r" el resto de b / 7
b=7q + r con 0 <= 1 <7
b^6 = (7q)^6 + 7(7q)^5·r + 21(7q)^4·r^2 + 35(7q)^3·r^3 + 21(7q)^2·r^4 + 7(7q)·r^5 + r^6
todos los términos salvo el último son claramente multiplos de 7 luego el resto "s" de b^6/7 será el de r^6/7
No estudie congruencias pero tu creo que si puedes usarlas y esto es equivalente a
a = r^6 (mod 7)
aquí no tenemos el símbolo de tres barras para escribirlo bien pero se entiende.
El pequeño teorema de Fermat
a^(p-1) = 1 (mod p) con "p" primo y "a" no divisible por "p" ya nos diría automáticamente
r^6 = 1 (mod 7) por ser r < 7 y 7 número primo. Pero si no podemos usarlo basta con hacer la prueba para r entre cero y seis
0^6 = 0
1^6 =1
2^6 = 64 = 1 (mod 7)
3^6 (mod 7)= 3^2 · 3^2 · 3^2 (mod 7) = 2·2·2 (mod 7) = 1
4^6 (mod 7)= 16 · 16 · 16 (mod 7) = 2·2·2 (mod 7) =1
5^6 (mod 7) = 30 · 30 · 30 (mod 7) = 2·2·2 (mod 7) =1
6^6 (mod 7) = 36 · 36 · 36 (mod 7) = 1·1·1 (mod 7) =1
Resumiendo:
a = b^6 = 7n + r^6
r^6 = 0 ó 1 (mod 7) luego
a = b^6 = 7n + 7m + {0, 1} = 7k + {0, 1}
-------------------------------------------------
5. Muestre que el cubo de cualquier entero es de la forma 7k o  7k (+ o -) 1.
Sigamos razonamientos como antes.
a^3 = (7b+r)^3 con 0 <= r < 7
a^3 = (7b)^3 + 3((7b)^2)r + 3·(7b)r^2 + r^3 = 7n+r^3  con 0 <= r < 7
y el resto de a^3 entre 7 es el mismo que el de r^3
0^3 = 0
1^3 = 1
2^3 (mod 7) = 1
3^3 (mod 7) = 27 (mod 7) = 6 (mod 7)
4^3 (mod 7) = 64 (mod 7) = 1 (mod 7)
5^3 (mod 7) = 119 (mod 7) = 1 (mod 7)
6^3 (mod 7) = 216 (mod 7) = 6 (mod 7)
a^3= 7n + 7m + {0, 1, 6}
Si ese sumando extra es 0 será de la forma 7k
Si ese sumando extra es 1 será de la forma 7k +1
Si ese sumando extra es 6 tomaremos el k siguiente y la forma será 7k -1
-----------------------------------------------------------------
6. Para n >= 1 Demuestre que el entero n(7n^2 + 5) es de la forma 6k.
n(7n^2 + 5) = 7n^3 + 5n
A efectos de calculo del resto entre 6 restaremos este múltiplo (6n^3 + 6n) de seis y nos queda
n^3 - n
No se me ocurre nada más que simplificar:
Para n=1 se cumple n^3-n = 0
Supongamos se cumple para n y veamos que se cumple para n+1
Sea n^3 - n = 6k con k entero
(n+1)^3 + n+1 =n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n - 1 = 6k + 3n^2 + 3n = 3n(n +1)
Si n es par n = 2m y queda 6m(2m+1)
Y si n es impar n=2m+1 y queda 3(2m+1)(2m*2) = 6(2m+1)(m+1)
Luego queda demostrado por inducción que n^3 - n tiene la forma 6k
7. Si n es un entero impar, pruebe que n^4 + 4n + 11 es de la forma 16k .
Si n es impar sustituyamos n = 2m+1 y queda
16m^4 + 32m^3 + 24m^2 + 8m +1 + 8m + 4 +11 =
16m^4 + 32m^3 + 24m^2 +16m + 16
Quitemos todos los sumandos múltiplos de 16 a efectos de calcular el resto de dividir por 16 y queda unicamente:
24m^2
Pues algo falla, el problema está mal. Basta con tomar n=3 y comprobamos que
3^4 + 4·3 +11 = 81 + 12 + 11 = 104 / 16 = 6,5
¿Tal vez hayas querido decir n par?  Veamos si se cumpliría, tomemos n=2m
(2m)^4+ 4(2m) + 11 = 16m^4 + 8m +11 y tampoco
Está mal ese enunciado, mira a ver si lo copiaste bien
Y esto es todo. Espero que te sirva, aunque no se si estaré usando el arsenal que tu puedes a tu disposición usando la Teoría de Números que creo estudias. Si supieras alguna página web que tratara bien ese tema dímela, no solo por resolver problemas ajenos sino porque es un tema que me gusta. No olvides puntuar y cerrar la pregunta.