Ayuda: problema de permutacion / combinacion
Me dejaron una guía y es el único problema que me falta por que no entiendo ni que hay que hacer, alguien me podría ayudar usando las formulas de permutacion o combinación
¿Cuántos paralelogramos quedan determinados cuando un grupo de 8
rectas paralelas son intersecadas por otro grupo de 6 rectas paralelas?
2 Respuestas
Pues son muchos y no va a ser tan sencillo el recuento.
Primero recontamos los de menor tamaño van a ser 7·5 = 35 TOTAL(1) = 35
Recordar que son 7 filas y 5 columnas
Luego los que se crean con 2 de estos. Supongamos son las 8 en horizontal y las 6 en vertical
En horizontal serán 4·7 y en vertical 6·5 : TOTAL(2) = 58
Luego los de 3
En horizontal 3·7 y en vertical 5·5. TOTAL(3) = 46
Los de 4 pueden ser horizontal, vertical y en dos líneas
En horizontal 2·7, en vertical 4·5, en 2 líneas 6·4 TOTAL(4) = 58
Los de 5 solo en vertical y horizontal
En horizontal 1·7 y en vertical 3·5 ; TOTAL(5) = 22
Los de 6 se pueden crear solo en vertical pero aparte pueden ser 3x2 y 2x3
En vertical son 2·5, en 3filas x 2columnas son 5·4, en 2filas x 3columnas son 6·3, TOTAL(6)=48
Oye, voy a mandar esto de momento no sea que alguien le dé por responderla de manera inconsciente y no me sirva para nada el trabajo. Espera que termine, puede ser que tarde bastante.
La cantidad de paralelogramos para los que tienen varias filas y columnas la determino por el punto de la cuadrícula donde tiene el vértice superior izquierdo. Para que no se salga el paralelogramo de la cuadrícula ese punto primero puede ser en filas hasta 7 - numero de filas +1 = 8 - filas y en columnas hasta 5 - columnas + 1 = 6-columnas
Resumiendo
Nº paralelogramos con tantas filas y columnas = (8-filas)(6-columnas)
A partir de ahora usaré esa fórmula.
Los paralelogramos de 7 solo se pueden hacer en vertical 1·5 TOTAL (7) = 5
Los paralelogramos de 8 pueden ser 4x2 y 2x4
Los de 4x2 son 4·4 y los 2x4 son 6·2 TOTAL(8) = 28
Los paralelogramos de 9 son 3x3 y son 5·3 TOTAL(9) = 15
Los de 10 pueden ser 5x2 y 2x5 y son 3·4 + 6·1. TOTAL(10) = 18
De 11 no puede haber
De 12 pueden ser 6x2, 4x3 y 3x4, nótese que 2x6 no pueden ser.
Y son 2·4 + 4·3 + 5·2 TOTAL(12) = 30
De 13 no puede haber
De 14 solo pueden ser 7x2 que son 1·4 TOTAL(14)=4
De 15 puede haber 5x3 y 3x5 que son 3·3 + 5·1 TOTAL(15) = 14
De 16 Solo puede haber 4x4 el 8x2 no cabe. Son 4·2 TOTAL(16) = 8
De 17 no puede haber
De 18 solo puede haber 6x3 que son 2·3 TOTAL(18) = 6
De 19 no puede haber
De 20 Puede haber 5x4 y 4x5 que son 3·2+4·1 TOTAL(20) = 10
De 21 puede haber 7x3 que son 1·3 TOTAL(21) = 3
De 22 no puede haber el 11x2 no cabe
De 23 no puede haber
De 24 puede haber de 6x4 que son 2·2 TOTAL(24) = 4
De 25 puede haber 5·5 que son 3·1 TOTAL(25) = 3
De 26 no puede haber
De 27 no puede haber
De 28 Puede haber 7x4 que son 1·2 = 2
De 29 no hay
De 30 puede ser 6x5 que son 2·1 = 2
De 31 nada
De 32 no caben
De 33 menos
De 34 no
De 35 el completo 7x5 que es 1 TOTAL(35) = 1
Bueno, espero no haberme dejado ninguno ni haber hecho mal las cuentas, revísalo.
Y ahora a sumarlos todos:
35+58+46+58+22+48+5+28+15+18+30+4+14+8+6+10+3+4+3+2+2+1 = 420
Y eso es todo, si encuentras algún fallo dímelo, que es fácil que me haya confundido en algo. Si necesitas aclaraciones pídelas también. Y si ya está bien no olvide puntuar para poder hacer más preguntas.
Espera un poco. Después de haberlo hecho a lo bruto se da uno cuenta que hay una fórmula que en principio es compleja pero que tal vez pueda simplificarse.
$$\begin{align}&p=\sum_{i=1,\;j=1}^{i=7,\;j=5}(8-i)(6-j) =\\ &\\ &\sum_{i=1,\;j=1}^{i=7,\;j=5}(48-6i-8j+ij)=\\ &\\ &48·7·5 - 6·5\sum_{i=1}^7i-8·7\sum_{j=1}^5j+\sum_{i=1,\;j=1}^{i=7,\;j=5}ij=\\ &\\ &1680-30·\frac{7(1+7)}{2}-56 \frac{5(1+5)}{2}+\sum_{i=1,\;j=1}^{i=7,\;j=5}ij=\\ &\\ &\\ &1680 -840-840 + \sum_{i=1,\;j=1}^{i=7,\;j=5}ij=\\ &\\ &\sum_{i=1,\;j=1}^{i=7,\;j=5}ij=\end{align}$$Bueno la expresión ayuda poco, vamos a ponerla en forma normal para ver si podemos deducir algo
1·1 + 1·2 + 1·3 + 1·4 + 1·5 +
2·1 + 2·2 + 2·3 + 2·4 + 2·5 +
.....
7·1 + 7·2 + 7·3 + 7·4 + 7·5 =
(1+2+....+7)(1+2+...5) =
[7(1+7)/2][5(1+5)/2] = 28·15 = 420
¡Eureka!
Estaba bien hecha la suma
Entonces la formula es
Sean n paralelas por un lado y m por el otro. Se forman (n-1) filas y (m-1) columnas
La fórmula es:
$$\begin{align}&p = \frac{(m-1)m}{2}·\frac{(n-1)n}{2}=\frac{(m^2-m)(n^2-n)}{4}\\ &\\ &\text{Aunque la primera expresión es más cómoda}\\ &\\ &\text{Para nuestro caso m=8, n =6}\\ &\\ &p= \frac{8·7·6·5}{4}= \frac{1680}{4}=420\end{align}$$Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame. Y si ya está bien no olvides puntuar para poder hacer otras preguntas.
Muchas gracias 420 era el resultado correcto, creo que ambos nos matamos tratando de solucionar esto je je, muchas gracias denuevo!!
Pues ya lo ves, era mucho más sencillo que todo lo que hice. Son las combinaciones de unas paralelas tomadas de 2 en 2 multiplicadas por las combinaciones de las otras tomadas de 2 en 2.
C(8,2) · C(6,2) = (8·7/2)·(6·5/2) = 28 · 15 = 420
No sé cómo no me di cuenta que era tan sencillo.
Aunque sea muyy tarde!... y la respuesta de Ángel es correcta!, se pedía que se trabaje con combinatoria, espero que le pueda servir a alguien que lo necesite y que no borren esto...
Bueno ahora a la respuesta: Como pide que halle cuantos paralelogramos quedan determinados se puede usar la combinación ya que relaciona los distintos grupos de catetos de cada paralelogramo.seria algo así: 8C2 . 6C2 = 28 . 15 = 420
8!/(2!(8-2)!) . 6!/(2!(6-2)!) = 28 . 15 =420
Aclaración: hay distintas notaciones de combinación yo utilizo la que me enseñaron y más me gusta.
Combinación de 8 tomado de a 2, multiplicado por, combinación de 6 tomado de a 2 (en la calculadora para cada uno: botón 8 + botón nCr + botón 2 + = 28)