Dada las siguientes parabolas
Calcular :
a. Las coordenadas del vértice
b. Las coordenadas del foco
c. La longitud del lado recto
d. La ecuación de la directriz
$$y^2- 4y -6x + 13 = 0$$
$$3x^2 -9x-5y-2=0$$
1 Respuesta
Toda la información sobre una parábola se obtiene de la ecuación canónica, luego vamos a ponerla de ese modo mediante la técnica llamada completar cuadrados.
y^2 - 4y - 6x + 13 = 0
La y es la variable que interviene en el cuadrado, mediante un binomio adecuado debemos conseguir los términos donde está la y
Si tomamos
(y-2)^2 = y^2 - 4y + 4
Tendremos los dos términos de la y. Como habremos añadido un 4 se lo restamos inmediatamente para no olvidarnos. Y la ecuación queda
(y-2)^2 - 4 -6x +13 = 0
(y-2)^2 = 6x -9
Y ahora hay que dejar lo de la derecha como 2p(x-a)
(y-2)^2 = 6(x - 9/6)
(y-2)^2 = 2·3(x - 3/2)
Lo de ponerlo como 2px es por usar la notación clásica, pero dejándolo como kx se extrae la información igual o mejor.
La ecuación tiene la forma
(y-b)^2 = 2p(x-a) donde (a,b) es el vértice, luego
Vértice = (3/2, 2)
El foco estará en el punto p/2 en el eje longitudinal respecto del vértice.
p/2=3/2
Como la variable al cuadrado es la y el eje es paralelo al eje X,
foco = (3/2, 2) + (3/2, 0) = (3,2)
La longitud del lado recto es 2p = 6
La directriz esta situada a -p/2 respecto al vértice. Luego pasa por el punto
(3/2, 2) - (-3/2, 0) = (0,2)
y es perpendicular al eje longitudinal que es el X, luego la directriz es x=0
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3x^2 - 9x - 5y - 2 = 0
Dividimos por 3 para que el término al cuadrado tenga coeficiente 1
x^2 - 3x - (5/3)y - 2/3 = 0
Completamos cuadrados
(x - 3/2)^2 - 9/4 - (5/3)y - 2/3 = 0
(x-3/2)^2 - (5/3)y - (27+8)/12
(x-3/2)^2 = (5/3)y + 35/12
Adecuamos el lado derecho a la forma de la ecuación canónica
(x-3/2)^2 = (5/3) [y + (35/12) / (5/3)]
(x-3/2)^2 = (5/3) [y + (35·3 / 12·5)]
(x-3/2)^2 = 2(5/6) (y +105/60)
(x-3/2)^2 = 2(5/6) (y + 7/4)
El eje longitudinal es paralelo al eje Y
El vértice es (3/2, 7/4)
El foco está a p/2 del vértice en vertical
Foco = (3/2, 7/4) + (0, 5/12) = (3/2, (21+5)/12) = (3/2, 13/6)
Lado recto = 2p = 5/3
La directriz pasa a -p/2 del vértice en vertical
(3/2, 7/4) - (0, 5/12) = (3/2, (21-5)/12) = (3/2, 4/3)
Y la recta horizontal que pasa por el es x = 4/3
Y eso es todo.
