Una solución de la ecuación general y''' + 6y" - y' - 34y = 0
El enunciado dice exactamente asi :
Una solución de la ecuación diferencial y''' + 6y" + y' - 34y es
y = e^-4x cosx. Sin resolver la ecuación determine las dos soluciones restantes y luego exprese la forma de la
solución general correSpondiente.
1 respuesta
En la pregunta anterior te decía que esa solución no valía, pero me he dado cuenta que lo argumenté mal. Luego lo mejor que se puede hacer es comprobarla.
y = e^(-4x)cosx
y'= -4e^(-4x)cosx -e^(-4x)senx = -e^(-4x)(4cosx + senx)
y''(x) = 4e^(-4x)(4cosx+senx)-e^(-4x)(-4senx+cosx) = e^(-4x)(15cosx+8senx)
y'''(x) = -4e^(-4x)(15cosx+8senx) +e^(4x)(-15senx+8cosx) = -e^(-4x)(52cosx+47senx)
y''' + 6y'' + y' -34y = e^(-4x) [-52cosx+90cosx-4cosx-34cosx - 47senx+48senx-senx) =
e^(-4x)[0) = 0
Si, es valida esa solución.
Pues vamos a deducir. La ecuación característica es de grado tres puede tener tres raíces reales o una real y dos complejas. Si todas fueran reales las soluciones serán de estas formas
Si las tres raíces son distintas
C1·e^(r1·x) + C2·e^(r2·x) + C3·e^(r3·x)
Si r1 esta repetida dos veces
C1·e^(r1·x) + C2·x·e^(r1·x) + C3·e^(r2·x)
si r1 esta repetida tres veces
C1·e^(r1·x) + C2·x·e^(r1·x) + C3·x^2·e^(r1·x)
La solución e^(-4x)cosx no se puede obtener con ninguna combinación de esas, luego la ecuación característica tiene 1 raíz real y dos complejas conjugadas. Las llamaremos
r1=r
r2 = a+bi
r3 = a -bi
y la solución general es
y = C1·e^(rx) + e^a[C2·cos(bx)+ C3·sen(bx)]
Al ser e^(-4x)cosx una solución particular tenemos
a=-4
b=1
y = C1·e^(rx) + e^(-4x)[C2·cosx + C3·senx]
e^(-4x)senx es otra solución particular independiente
Nos falta por calcular r para hallar otra solución independiente.
Pues lo llamen como lo llamen hay que resolver la ecuación característica, lo que pasa es que sabiendo las otras dos raíces es sencillo y puede ser que a eso no lo llamen resolver la ecuación, pero lo es.
La ecuación característica es
(x+s)(x+t)(x+u) = 0
el coeficiente libre es stu
el coeficiente de x^2 es s+t+u
Es más sencillo calcular s por el coeficiente de x^2 que por el libre.
La ecuación característica es
(x+s)(x+4+i)(x+4-i) = x^3+6x^2 + x -34
igualando el coeficiente de x^2
s+4+i+4-i = 6
s+8 = 6
s=-2
Y la raíz real es -s, ya que en el planteamiento del cálculo de las raíces a través de los coeficientes use los opuestos de las raíces para que no molestaran los signos negativos
r =-s = 2
Luego la otra solución sencilla independiente es e^(2x)
Y eso es todo.
