Ayuda con funciones matemáticas, gracias.
Hola excelente día, les agradezco su ayuda con la sig. Expresión, saludos.
SEa f(x) una función definida en todos los números reales tal que f(x+y) = f(x) + f(y). Demostrar que f(x) es continua en R.
1 respuesta
Para todo epsilon>0 debemos encontrar un delta>0 tal que si
0 < |xo - x| < delta se cumpla |f(xo) - f(x)| < epsilon
f(xo) = f[(xo - x) + x] = f(xo-x) + f(x)
luego f(xo) - f(x) = f(xo-x)
|f(xo) - f(x)| = |f(xo-x)|
Luego la demostración que ha quedado es para todo epsilon>0 debemos encontrar un delta>0 tal que si 0 < |xo - x| < delta se cumpla |f(xo-x)| < epsilon
Llamando h a xo-x queda
para todo epsilon>0 debemos encontrar un delta>0 tal que si
0 < |h| < delta se cumpla |f(h)| < epsilon
Lo cual es equivalente a demostrar que
lim h-->0 f(h) = 0
Hemos reducido la demostración de continuidad en todo R a la demostración que el límite en el 0 es 0
Siendo n € N
n·f(x) = f(x) + f(x) + ...+ f(x) = f(x+x+...+x) = f(nx)
o sea
n·f(x) = f(nx)
Sean:
S = sup{ |f(x)| para x€(-1,1)
n = parte entera(S / epsilon) + 1
delta = 1/n
entonces si
0< |h| < delta = 1/n tendremos
n|f(h)| = |n·f(h)| = |f(nh)|
como |h| < 1/n
-1/n < h < 1/n
-1 < nh < 1
luego
n|f(h)| = |f(y)| con -1 < y < 1
ese conjunto esta incluido en el que hemos extraído el supremo, luego
n|f(h)| <= S
|f(h)| <= S/n = S / [parte entera(S/epsilon) +1] < S / (S/epsilon) = epsilon
Y eso es todo, no es una demostración tan fácil de deducir.
