Para conjuntos no vacíos A, B subconjuntos de R(reales) ...

Como sabes, el supremo es la menor de las cotas superiores de un conjunto.

Supongamos que Sup(A)+Sup(B) distinto de sup(A+B). Llamemos

R = Sup(A)+Sup(B).

S = Sup(A+B)

R es una cota superior para A+B porque

si z € A+B ==> z = x+y con x€A, y€B luego z<=sup(A) +Sup(B) = R

luego S debe ser menor que R ya que S es la menor de las cotas superiores de A+B

entonces para todo z€A+B se cumple z <= S < R o lo que es lo mismo

para todo a€A y b€B a+b <= S < R

a+b <= S < Sup(A)+Sup(B)

restamos sup(B) en los tres miembros de la desigualdad

a+b-sup(B) <= S - Sup(B) < Sup(A)

Si sup(B) € B tomamos como b sup(B) y se cumple

Para todo a €A, a<= S - Sup(B) < Sup(A)

Lo cual significa que S-Sup(B) es una cota superior para A y es menor que Sup(A), eso es absurdo.

Y si sup(B) nop pertenece a B entonces

Para todo epsilon>0 existe un b€B tal que sup(B)-b < epsilon

Ya que si no sup(B)-epsilon sería una cota superior para B menor que sup(B)

Luego -epsilon < b-sup(B) y entonces

a - epsilon < a +b-sup(B) <= S-Sup(B) < sup(A) para todo a€A y todo epsilon >0

Quitamos el termino auxiliar intermedio

A - epsilon < S-Sup(B) < sup(A) para todo epsilon >0

Si a fue mayor que S-Sup(B) no se podría cumplir eso ya que tomaríamos epsilon menor que la diferencia y no se cumpliría, luego se deduce

a <= S-Sup(B) < sup(A)

Que es lo mismo que antes, un absurdo porque hemos encontrado una cota superior de A menor que su supremo.

Y la hipótesis en primer término que no ha llevado al absurdo en todos los casos es la de que R es distinto de S, luego deben ser iguales y

Sup(A+B) = Sup(A)+Sup(B)

Y eso es todo.