Problemas de poisson 3

Este creo que no lo voy a poder hacer, tendrías que pasarme la teoría, el proceso de Poisson no-homogéneo no lo he dado.

Bueno, he buscado un poco y he encontrado que la función de probabilidad de un proceso no homogéneo es bastante perecido al homogéneo. La probabilidad de que entre to y t se produzcan n sucesos es una variable de Poisson cuyo parámetro es la integral entre to y t de la función del parámetro

a) Los 20 minutos son 1/3 de hora

$$\begin{align}&\lambda(0,1/3)=\int_0^{1/3}\frac{dt}{\sqrt{8-t}}=-2\left[\sqrt{8-t}\;\right]_0^{1/3}=\\ &\\ &-2\left(\sqrt{\frac{23}{3}}-\sqrt 8\right)\approx 0.119105\\ &\\ &P(1º \;en \;20min) = \frac{e^{-{0.119105}}\;·\;0.119105^1}{1!}=0.1057312457\\ &\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

b) Es una probabilidad condicional. Los 40 minutos son 2/3 de hora

P(4 en 2/3 hora | 6 en 1hora) =

P[(4 en 2/3 hora) n (6 en 1 hora)) / P(6 en 1 hora) =

La probabilidad de la intersección será la probabilidad de que haya habido 4 en los 2/3 de hora multiplicada por la probabilidad de que haya habido 2 entre los 2/3 y la hora.

Hay que calcular los lambdas de cada uno de esos intervalos. Como ya calculamos la función primitiva arriba ahora la aplicamos sin volver a hacer la integral

$$\begin{align}&\lambda(0,\,2/3) =-2\left[\sqrt{8-t}\;\right]_0^{2/3}=\\ &\\ &2\left(\sqrt 8-\sqrt{\frac {22}{3}}\right)\approx 0.2408286464\\ &\\ &\\ &P(4\; de\; 0\; a\;2/3) =\frac{e^{-0.2408286464}·0.2408286464^4}{4!}=\\ &\\ &0.0001101617395\\ &\\ &\\ &\lambda(2/3, \,1)=-2\left[\sqrt{8-t}\;\right]_{2/3}^1=\\ &\\ &2\left(\sqrt{\frac{22}{3}}-\sqrt 7  \right)\approx 0.124522981\\ &\\ &\\ &\\ &P(2\;de \;2/3\; a\; 1)=\frac{e^{-0.124522981}·0.124522981^2}{2!}\approx\\ &\\ &0.006845251015\\ &\\ &P(4\; de \;0\; a\; 2/3\;\; y\;\; 2 \;de\; 2/3\; a\; 1)=\\ &\\ &0.0001101617395 \;·\;0.006845251015=0.0000007540847591\end{align}$$

Antes de continuar estoy adviertiendo unas probabilidades extremadamente bajas. Te pedíría que mirases el enunciado a ver si esta todo correcto, sobre todo la función del parámetro lambda, porque una media de 0.35 clientes por hora cuando es más alta que es lo que se desprende del la función de lambda arruina a la oficina y nos da resultados con muchos ceros antes del primer decimal.