Ejercicios en relación con el proceso exponencial y Poisson

Juan Pérez!

La media es 3 autos por hora.

Lo que nos piden es que en 3/4 de hora entren 2 y en las 2 horas y 1/4 siguientes entren 4. Son sucesos independientes, luego la probabilidad de producirse los dos es el producto de las probabilidades.

Para los 2 autos en 3/4 de hora tendremos que montar una Poisson de parámetro 3(3/4) = 9/4

P(2) = e^(-3/4) · (3/4)^2 / 2 = e^(-3/4) · 9 / 32

Y para los 4 autos en 2 horas y 1 cuarto = 9/4 se monta una Poisson de parémetro

3(9/4) = 27/4

P(4) = e^(-27/4)·(27/4)^4 / 24 = e^(-27/4) · 531441 / 6144

Y el producto de las dos probabilidades es

e^(-30/4) ·4782969 / 196608 = 0.013455126.

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2)

a) Si la media diaria es de 15, el tiempo esperado paa morir 40 es

40/15 = 8/3 = 2.6666.... dias = 2días y 16 horas

b) En diez días se espera que hayan muerto 150 células.

No podemos hacer las sumas de las probabilidades desde 0 hasta 159. Como el parámetro lambda es bastante grande aproximaremos la distribución de Poissson por una normal.

$$\begin{align}&Z=\frac {X-\lambda}{\sqrt{\lambda}}\; es\; una\; N(0,1)\\ &\\ &z_0= \frac{159.5-150}{\sqrt {150}}= 0.7756717519\\ &\\ &P(Z\le 0.7756717519)=\\ &\\ &Tabla(0.77)=0.7794\\ &Tabla(0.78)=0.7823\\ &\\ &=0.7794 + 0.56717519(0.7823-0.7794)=0.7810448081\end{align}$$

El valor exacto que ma da Excel es 0.78264913.

Se puede plantear uno que tal vez habria que haber tomado 160 en vez de 159.5, pero no, hay que tomar 159.5, porque si hubieramos tomado 160 habria dado

P(zo < 0.81649658) =0.792...

Lo cual está más alejado de nla solución exacta.

Y eso es todo.