Integración de una función racional

Lo primero es hacer la división entera de los polinomios para conseguir un cociente entero y un resto de grado menor que el divisor

 2x^3      - 24x + 2  | x^2+2x-8
                       ----------
-2x^3 -4x^2 +16x 2x - 4
-----
  0   +4x^2  +8x -32
      --------------
        0 0 -30

Con esto quedará

$$\begin{align}&\int \left ( 2x-4+\frac{-30}{x^2+2x-8} \right )dx=\\ &\\ &\\ &x^2 -4x + \int \frac{-30\,dx}{x^2+2x-8}=\end{align}$$

Calculamos las raíces del denominador, su producto debe ser -8 y su suma -2, luego son -4 y 2. Si no lo ves claro puedes usar la fórmula.

$$\frac{-30}{x^2+2x-8}=\frac{-30}{(x+4)(x-2)}=$$

La teoría sobre descomposición de funciones racionales dice que cuando el denominador tiene k raíces reales de multiplicidad uno se descompone en suma de fracciones, una para cada raíz quedando de esta forma

$$\begin{align}&\frac{a_1}{x-r_1}+\frac{a_2}{x-r_2}+...+\frac{a_k}{x-r_k}\\ &\\ &\\ &\text{Donde las r son las raíces y las a constantes que deben hallarse}\\ &\\ &\frac{-30}{x^2+2x-8}=\frac{a}{x+4}+\frac{b}{x-2}=\\ &\\ &\\ &\frac{a(x-2)+b(x+4)}{(x+4)(x-2)}=\frac{(a+b)x+(4b-2a)}{x^2+2x+8}\end{align}$$

La primera y última tienen igual denominador, luego el numerador debe ser el mismo. Esto es una igualdad de polinomios, luego debe cumplirse en todos los coeficientes, incluso en el coeficiente cero para la x que se omite en la primera. Es decir:

0x - 30 = (a-b)x +(4b-2a)

Lo cual nos da estas dos ecuaciones:

a + b = 0

-2a+4b = -30

Que resolvemos

a=-b

2b+4b = -30

6b=-30

b=-5

a=5

Volvemos ya a la integral que habíamos dejado:

$$\begin{align}&x^2-4x+\int \frac{5dx}{x+4}-\int \frac{5dx}{x-2}=\\ &\\ &\\ &x^2-4x +5ln|x+4|-5ln|x-2|+C\\ &\\ &\end{align}$$

Y con dejarla solución asi es suficiente pienso yo. Hay quien quiere demostrar que se sabe todas las propiedades de los logaritmos (o le obliga el profesor) y lo dejará así:

$$x^2-4x +ln \left ( \left| \frac{x+4}{x-2} \right |^5 \right )+C$$

Suele ser peor para usar en posteriores cálculos. Y sobre todo, yo me pido comprobar que la primitiva está bien calculada con la primera expresión y le dejo a él que lo compruebe con esta segunda.

Y ya la he comprobado y está bien.

Eso es todo.

Buenas tardes Experto!!

Tengo algunas dudas con respecto al ejercicio:

1) ¿De dónde sale?:

$$$$

2) ¿De dónde sale el 0x-30?

A la espera de su respuesta,

Gracias y Un Saludo!!

Parece que el punto 1 no se vé. Lo vuelvo a escribir por aquí:

1) -30 / (x+4)(x-2)

Un Saludo