Anónimo
Calcular el área de un terreno con integrales
Me mandaron a realizar este problema de integrales definidas pero no tengo ni idea de como : Se desea cercar un terreno que tiene la forma de la función Y=raíz de X.hallar la cantidad de alambre que se necesitan en metro (Acotando la función de (0,10)) x favor ayudeme a realizar este problema o q pasos tengo q hacer
2 Respuestas
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Dame más detalles porque no se si lo he entendido bien.
La función raíz de por es un parábola simétrica respecto del eje x. Entonces se supone que el alambre irá tanto por arriba como por abajo, ¿no? Y el problema está en en algún momento habrá que cerrar porque la parábola no es cerrada sino que cada vez se abre más. Habría que decir en que punto se acaba, supongo que cerrando con una lineá vertical. Entonces tendrías que decirme en que punto del eje X se traza esa linea. Lo que me has puesto es un punto del eje Y.
Por lo demás, la fórmula para calcular la longitud de una curva f(x) es:
$(a,b)sqrt(1+[f'(x)]^2)dx Que se lee, integral entre a y b de la raiz cuadrada de 1 mas la derivada de f(x) al cuadrado.
Dame los datos de como es exactamente el recinto e intentaré resolverlo.
La función raíz de por es un parábola simétrica respecto del eje x. Entonces se supone que el alambre irá tanto por arriba como por abajo, ¿no? Y el problema está en en algún momento habrá que cerrar porque la parábola no es cerrada sino que cada vez se abre más. Habría que decir en que punto se acaba, supongo que cerrando con una lineá vertical. Entonces tendrías que decirme en que punto del eje X se traza esa linea. Lo que me has puesto es un punto del eje Y.
Por lo demás, la fórmula para calcular la longitud de una curva f(x) es:
$(a,b)sqrt(1+[f'(x)]^2)dx Que se lee, integral entre a y b de la raiz cuadrada de 1 mas la derivada de f(x) al cuadrado.
Dame los datos de como es exactamente el recinto e intentaré resolverlo.
Hola gracias por ayudarme ese es el enunciado que me dieron no me dieron más datos por eso no se por donde comenzar lo único es que dibujo el arco que sale desde es punto x=0 y se eleva hasta x=10 me imagino que ese es el punto de intercepción y tengo que calcular desde ahí y tengo que alambrar solo la función por lo que dice el enunciado ...
Pues lo hacemos como creo que podría ser. Ya te digo que las dudas me vienen de la frase "Acotando la función de (0,10)" que supongo quiere decir con por entre 0 y 10.
Para empezar no es un área tal como pones en el titulo, sino una longitud. Al menos yo entiendo eso, hacer el borde de alambre.
Si te piden resolver este problema es porque has estudiado que una de las aplicaciones de las integrales definidas es el cálculo de longitudes de funciones. En el apartado correspondiente te prondrá que la fórmula a utilizar es:
Longitud de f(x) entre a y b = $(a,b) sqrt(1+ f'(x)^2)dx
Eso será unicamente la rama superior. Si hubiese que alambrar esa misma figura simétrica por debajo del eje por sería 2 veces esa longitud. Si hubiera que alambar también la línea vertical final sería todo la anterior +2·sqrt(10).
Bueno, vamos con lo complicado:
f(x) = sqrt(x) = x^(1/2)
f'(x) = (1/2) x^(-1/2)
[f'(x)]^2 = (1/4)[x^(-1/2)]^2 = 1/4(x^(-1)) = 1/(4x)
sqrt(1+[f'(x)]^2) = sqrt (1+1/(4x)) = sqrt ((4x+1)/4x)
Y esto es lo que hay que integrar entre 0 y 10.
$(0,10) sqrt (1+1/(4x)) dx
Según Maxima y Maple el resultado es 10.76017314
Evidentemente quieren que lo hagamos a mano, pero ahí está la solución por si hiciera falta.
Mi milenario libro de cálculo diferencial e integral de Piskunov habla de la integración de funciones irracionales y propone el cambio:
t^2 = 1+1/(4x) que nos hará que lo que hay en integrando sea sqrt(1+1/(4x)) = t
y además
t^2-1 = 1/(4x) ==> 4x = 1/(t^2-1) ==> x = 1/(4(t^2-1))
dx = -8t/[16(t^2-1)^2] = -t / [2(t^2-1)^2]
para x = 0, t ->infinito
para x= 10, t = sqrt(41/40)
Por el momento vamos a dejar de arrastrar los límites de integración y hago simplemente la integral indefinida.
Y haciendo el cambio queda:
$ t (-t)/[2(t^2-1)^2]] dt =(1/2) $t^2/[(t^2-1)^2]] dt
Esta integral no es sencilla precisamente, pero vamos con ella. Tendremos que poner la de dentro del integrando como suma de fracciones simples. En concreto el denominador es (t^2-1)^2 = [(t+1)(t-1)]^2 = [(t+1)^2][(t-1)^2]
Es de grado cuatro y el numerador solo tiene grado 2 luego no hay simplificación y por la teoría de integración de funciones racionales, el integrando se puede expresar de esta forma:
a/(t+1) + b/[(t+1)^2] + c/(t-1) + d/[(t-1)^2]
Si hacemos al algoritmo de la suma de quebrados con el mcm en el denominador, este quedaría así:
[(t+1)^2][(t-1)^2]
Y el numerador sería
a(t+1)(t-1)^2 + b(t-1)^2 + c(t-1)(t+1)^2 + d(t+1)^2
que debe ser igual a t^2 para que esta expresión sea la misma que la del integrando.
Es un poco pesado pero hay que calcular
a(t+1)(t^2 - 2t +1) + bt^2 - 2bt + b + c(t-1)(t^2+2t+1) + dt^2 + 2dt +d = t^2
at^3 - 2at^2 + at +at^2 - 2at + a + bt^2 - 2bt + b + ct^3 + 2ct^2 + ct - ct^2 -2ct - c + dt^2 + 2dt +d = t^2
(a+c)t^3 + (-a + b + c +d)t2 + (-a - 2b - c + 2d)t +(a + b - c + d) = t^2
Para que se cumpla esa igualdad de polinomios se tiene que dar igualdad en todos los coeficientes. Eso nos proporciona estas cuatro ecuaciones:
a + c = 0
-a + b + c + d = 1
-a -2b - c + 2d = 0
a + b - c + d = 0
Resolvamos el sistema sumando filas multiplicadas para sacar ceros debajo de la diagonal principal
1 0 1 0 | 0 1 0 1 0 | 0
0 1 2 1 | 1 0 1 2 1 | 1
0 -2 0 2 | 0 0 0 4 4 | 2
0 1 -2 1 | 0 0 0 -4 0 | -1 ==> c=1/4 ==>por la primera a=-1/4
==> por la tercera d= 1/4
==> por la tercera izda b= 1/4
He comprobado con Máxima y Maple que esos coeficientes son los correctos.
Sacaremos ya el 1/4 fuera del integrando y quedaría esto:
(1/8) $(-1/(t+1) + 1/[(t+1)^2] + 1/(t-1) + 1/[(t-1)^2])dt
Son todas integrales inmediatas:
(1/8) [- ln(t+1) - 1/(t+1) + ln(t-1) - 1/(t-1)] +C =
(1/8)[ ln((t-1) / (t+1)) - 2t/(t^2 - 1)] + C=
(1/8)[ln(1 - 2/(t+1)) - 2t / (t^2 -1)] + C
Y ahora calculamos en los límites de integración que son infinito y sqrt(41/40). Precisamente he elaborado tanto el resultado final para que veas que no hay problema en usar el infinito.
En infinito hay que tomar el límite y como los denominadores tienen mayor grado va a quedar
(1/8)[ln(1) + 0] = 0
en sqrt(41/40) con signo menos quedará:
-(1/8) ln[1 - 2 / (sqrt(41/40) + 1)) - 2 · sqrt(41/40)/(1/40)] = dando varios pasos en uno
-(1/8)[ln(81-4sqrt(410)) - 4·sqrt(410)] =
-(1/8) [ln(0,0061730747) - 80,993827] =
-(1/8) (-86,081385) = 10,760173 m
¡Esto es increíble COINCIDE!
Pues eso, toma los decimales que quieras porque ahora lo pondré con superprecisión que se lo merece:
El alambre necesario para dibujar la función sqrt(x) entre 0 y 10 es 10,760173144296639022 m
-----------------------------------------------------
Y ahora, después de haberme matado, permíteme dudar de que sea esto lo que te habían pedido. Fíjate lo complicado que ha sido que me he quedado completamente seco. ¿Podría ser que por alambrar quisieran decir cubrir de metros cuadrados de alambre y sea un mero problema de cálculo de áreas lo que te pedían? Pues que lo hubieran dicho bien claro, par no dar lugar a confusión. Voy a resolverlo también así que es muchísimo más sencillo.
f(x) = sqrt(x) = x^(1/2)
Area =$(0,10)x^(1/2) dx = (2/3) x^(3/2) entre 0 y 10 = 2/3[(10)^(3/2) - 0^(3/2)] =
(2/3) sqrt(1000) =(2/3)31,622777 =63,245553/3 = 21,081851 m^2
Los metros cuadrados de tela de alambre necesarios para alambrar la función sqrt(x) entre ella y el eje X entre 0 y 10 son 21,081851 m^2
Ala, ya tienes las dos interpretaciones, elige la más adecuada al contexto de tus estudios o al lenguaje hablado en el lugar de donde eres. Y eso es todo, espero que te haya servido y lo hallas entendido. No olvides puntuar para cerrar la pregunta.
Para empezar no es un área tal como pones en el titulo, sino una longitud. Al menos yo entiendo eso, hacer el borde de alambre.
Si te piden resolver este problema es porque has estudiado que una de las aplicaciones de las integrales definidas es el cálculo de longitudes de funciones. En el apartado correspondiente te prondrá que la fórmula a utilizar es:
Longitud de f(x) entre a y b = $(a,b) sqrt(1+ f'(x)^2)dx
Eso será unicamente la rama superior. Si hubiese que alambrar esa misma figura simétrica por debajo del eje por sería 2 veces esa longitud. Si hubiera que alambar también la línea vertical final sería todo la anterior +2·sqrt(10).
Bueno, vamos con lo complicado:
f(x) = sqrt(x) = x^(1/2)
f'(x) = (1/2) x^(-1/2)
[f'(x)]^2 = (1/4)[x^(-1/2)]^2 = 1/4(x^(-1)) = 1/(4x)
sqrt(1+[f'(x)]^2) = sqrt (1+1/(4x)) = sqrt ((4x+1)/4x)
Y esto es lo que hay que integrar entre 0 y 10.
$(0,10) sqrt (1+1/(4x)) dx
Según Maxima y Maple el resultado es 10.76017314
Evidentemente quieren que lo hagamos a mano, pero ahí está la solución por si hiciera falta.
Mi milenario libro de cálculo diferencial e integral de Piskunov habla de la integración de funciones irracionales y propone el cambio:
t^2 = 1+1/(4x) que nos hará que lo que hay en integrando sea sqrt(1+1/(4x)) = t
y además
t^2-1 = 1/(4x) ==> 4x = 1/(t^2-1) ==> x = 1/(4(t^2-1))
dx = -8t/[16(t^2-1)^2] = -t / [2(t^2-1)^2]
para x = 0, t ->infinito
para x= 10, t = sqrt(41/40)
Por el momento vamos a dejar de arrastrar los límites de integración y hago simplemente la integral indefinida.
Y haciendo el cambio queda:
$ t (-t)/[2(t^2-1)^2]] dt =(1/2) $t^2/[(t^2-1)^2]] dt
Esta integral no es sencilla precisamente, pero vamos con ella. Tendremos que poner la de dentro del integrando como suma de fracciones simples. En concreto el denominador es (t^2-1)^2 = [(t+1)(t-1)]^2 = [(t+1)^2][(t-1)^2]
Es de grado cuatro y el numerador solo tiene grado 2 luego no hay simplificación y por la teoría de integración de funciones racionales, el integrando se puede expresar de esta forma:
a/(t+1) + b/[(t+1)^2] + c/(t-1) + d/[(t-1)^2]
Si hacemos al algoritmo de la suma de quebrados con el mcm en el denominador, este quedaría así:
[(t+1)^2][(t-1)^2]
Y el numerador sería
a(t+1)(t-1)^2 + b(t-1)^2 + c(t-1)(t+1)^2 + d(t+1)^2
que debe ser igual a t^2 para que esta expresión sea la misma que la del integrando.
Es un poco pesado pero hay que calcular
a(t+1)(t^2 - 2t +1) + bt^2 - 2bt + b + c(t-1)(t^2+2t+1) + dt^2 + 2dt +d = t^2
at^3 - 2at^2 + at +at^2 - 2at + a + bt^2 - 2bt + b + ct^3 + 2ct^2 + ct - ct^2 -2ct - c + dt^2 + 2dt +d = t^2
(a+c)t^3 + (-a + b + c +d)t2 + (-a - 2b - c + 2d)t +(a + b - c + d) = t^2
Para que se cumpla esa igualdad de polinomios se tiene que dar igualdad en todos los coeficientes. Eso nos proporciona estas cuatro ecuaciones:
a + c = 0
-a + b + c + d = 1
-a -2b - c + 2d = 0
a + b - c + d = 0
Resolvamos el sistema sumando filas multiplicadas para sacar ceros debajo de la diagonal principal
1 0 1 0 | 0 1 0 1 0 | 0
0 1 2 1 | 1 0 1 2 1 | 1
0 -2 0 2 | 0 0 0 4 4 | 2
0 1 -2 1 | 0 0 0 -4 0 | -1 ==> c=1/4 ==>por la primera a=-1/4
==> por la tercera d= 1/4
==> por la tercera izda b= 1/4
He comprobado con Máxima y Maple que esos coeficientes son los correctos.
Sacaremos ya el 1/4 fuera del integrando y quedaría esto:
(1/8) $(-1/(t+1) + 1/[(t+1)^2] + 1/(t-1) + 1/[(t-1)^2])dt
Son todas integrales inmediatas:
(1/8) [- ln(t+1) - 1/(t+1) + ln(t-1) - 1/(t-1)] +C =
(1/8)[ ln((t-1) / (t+1)) - 2t/(t^2 - 1)] + C=
(1/8)[ln(1 - 2/(t+1)) - 2t / (t^2 -1)] + C
Y ahora calculamos en los límites de integración que son infinito y sqrt(41/40). Precisamente he elaborado tanto el resultado final para que veas que no hay problema en usar el infinito.
En infinito hay que tomar el límite y como los denominadores tienen mayor grado va a quedar
(1/8)[ln(1) + 0] = 0
en sqrt(41/40) con signo menos quedará:
-(1/8) ln[1 - 2 / (sqrt(41/40) + 1)) - 2 · sqrt(41/40)/(1/40)] = dando varios pasos en uno
-(1/8)[ln(81-4sqrt(410)) - 4·sqrt(410)] =
-(1/8) [ln(0,0061730747) - 80,993827] =
-(1/8) (-86,081385) = 10,760173 m
¡Esto es increíble COINCIDE!
Pues eso, toma los decimales que quieras porque ahora lo pondré con superprecisión que se lo merece:
El alambre necesario para dibujar la función sqrt(x) entre 0 y 10 es 10,760173144296639022 m
-----------------------------------------------------
Y ahora, después de haberme matado, permíteme dudar de que sea esto lo que te habían pedido. Fíjate lo complicado que ha sido que me he quedado completamente seco. ¿Podría ser que por alambrar quisieran decir cubrir de metros cuadrados de alambre y sea un mero problema de cálculo de áreas lo que te pedían? Pues que lo hubieran dicho bien claro, par no dar lugar a confusión. Voy a resolverlo también así que es muchísimo más sencillo.
f(x) = sqrt(x) = x^(1/2)
Area =$(0,10)x^(1/2) dx = (2/3) x^(3/2) entre 0 y 10 = 2/3[(10)^(3/2) - 0^(3/2)] =
(2/3) sqrt(1000) =(2/3)31,622777 =63,245553/3 = 21,081851 m^2
Los metros cuadrados de tela de alambre necesarios para alambrar la función sqrt(x) entre ella y el eje X entre 0 y 10 son 21,081851 m^2
Ala, ya tienes las dos interpretaciones, elige la más adecuada al contexto de tus estudios o al lenguaje hablado en el lugar de donde eres. Y eso es todo, espero que te haya servido y lo hallas entendido. No olvides puntuar para cerrar la pregunta.
Respuesta de diodo1234
1
Necesitas obtener la longitud de la función entre a y b.
Para sacar la longitud de la función debes utilizar la fórmula que indica en la web
http://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_de_arco
Donde pone "Al considerar una curva definida por una función y su respectiva derivada que son continuas en un intervalo [a, b], la longitud ES del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:"
No te pego la función porque no se lee bien. Es la primera que sale.
Debes demostrar que f y derivada de f son continuas en (0, 10) que lo son por ser positiva x. Sabes derivar raíz de x y te quedará por hacer la integral que es la gracia del problema.
P.D.: Me queda la duda de si debes cercar todo el perímetro o solo la parte de la función. Supongo que solo la parte de la función.
Para sacar la longitud de la función debes utilizar la fórmula que indica en la web
http://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_de_arco
Donde pone "Al considerar una curva definida por una función y su respectiva derivada que son continuas en un intervalo [a, b], la longitud ES del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:"
No te pego la función porque no se lee bien. Es la primera que sale.
Debes demostrar que f y derivada de f son continuas en (0, 10) que lo son por ser positiva x. Sabes derivar raíz de x y te quedará por hacer la integral que es la gracia del problema.
P.D.: Me queda la duda de si debes cercar todo el perímetro o solo la parte de la función. Supongo que solo la parte de la función.