Demostrar cociente funciones continuas

Si f es continua en c significa que para todo E>0 existe un d>0 tal que para todo x € Dom f y que cumpla 0<|x-c|<d se cumple |f(x)-f(c)|<E

Ahora cuando nos den un épsilon E para la función h vamos a tomar un nuevo epsilon E1:

E1 = min{E, |f(c)|/2}

En caso de hacerse este cambio lo que haremos será cumplir de sobra con la definición de límite ya que el E1 <= E

Y aún vamos a tomar un nuevo épsilon E2 igual o má pequeño:

E2 = min{E1, E1·|f(c)|·(|f(c)|-E1)}

En resumen tendremos

E1 < |f(c)|

E2 <= E1 <= E

E2 <= E1·|f(c)|·(|f(c)|-E1)

Y ahora tomamos el d que existe para ese E2 en la función f(x), es decir, el d que

para todo x € Dom f y 0 < |x-c| < d se cumple |f(x) - f(c)| < E2

Por la forma de construir E2 se cumplen estas dos desigualdades

|f(x) - f(c)| < E1

|f(x) - f(c)| < E1·|f(c)|·(|f(c)|-E1)

Si dividimos el primer término por algo igual o más grande que por lo que dividamos el segundo se mantendrá la desigualdad.

Veamos cuanto vale |f(x)|·|f(c)| en ese intervalo de c de radio d

-E1 < f(x)-f(c) < E1

f(c) - E1 < f(x) < f(c) + E1

Si f(c) es positiva, como E1 < |f(c)| = f(c) tenemos

0 < f(c)-E1 < f(x)

y f(x) también es positivo en ese entorno y podemos poner

|f(c)|-E1 < |f(x)|

Si f(c) es negativa como E1 < |f(c)| = -f(c)

f(x) < f(c) + E1 < 0

y también f(x) es negativo

Cambiamos de signo

-f(x) > -f(c) - E1

|f(x)| > |f(c)| - E1

Resumiendo

|f(x)| > |f(c)| - E1 tanto se es positiva como si es negativa

Y si multiplicamos por |f(c)| tenemos

|f(x)|·|f(c)| > |f(c)|·[|f(c)| - E1]

Habíamos quedado en la desigualdad

|f(x) - f(c)| < E1·|f(c)|·(|f(c)|-E1)

Y decíamos que al dividir el primer termino por algo más grande que por lo que dividamos al segundo se mantiene la igualdad

|f(x) - f(c)| / |f(x)|·|f(c)| < E1·|f(c)|·(|f(c)|-E1) / {|f(c)|·[|f(c)| - E1]}

Simplificando y teniendo en cuenta que |f(x)|·|f(c)| = |f(x)·f(c)|

|f(x) - f(c)| / |f(x)·f(c)| < E1 <= E

|[f(x)-f(c)] / [f(x)·f(c)]| < E

|1/f(c) - 1/f(x)| < E

|h(c) - h(x)| < E

Luego h es continua

Y eso es todo. Mucho más fácil es el ejercicio de la función que cumple la propiedad del valor intermedio, pero se me ha atragantado. A ver si lo consigo finalizar y te lo mando.