Por favor, necesito otra ayuda con sólidos de revolución.
Se necesita calcular el volumen que tendrá un ala (como un triangulo invertido de base "A" y lado "L") . Primero calcular el volumen de un disco ancho en los bordes y delgado en el centro, formado al hacer rotar un área como la mostrada en torno al eje x.
Luego el volumen del disco sera proporcional al del ala en relación a los ángulos de rotación con los que se formó cada uno, tendremos que
pi/6 = volumen del ala
2pi volumen del disco
es decir conociendo el volumen del disco, sabremos cuanto vale el volumen del ala despejando el volumen del ala de la ecuación anterior.
En esta dirección se encuentra el enunciado con gráficas.
http://es.scribd.com/doc/72137976/TAREA-Superficies-de-Revolucion
Por favor, le agradeceria me ayudara con este ejercicio.
gracias
1 Respuesta
Pondremos el vértice del triángulo sobre el punto (0,0)
La altura del triangulo la calculamos por el teorema de Pitágoras
h = sqrt[l^2 - (A/2)^2]
De esta forma, el lado es el segmento que va desde (0,0) a (A/2, sqrt[l^2 - (A/2)^2])
Su ecuación será
$$\begin{align}&y = \frac{\sqrt{L^2 - (A/2)^2}\;x}{ \frac A2}=\\ &\\ &\frac{\sqrt{4L^2+A^2}\;x}{A}=x \sqrt{4 \left(\frac LA\right)^2-1}\end{align}$$Haremos la integral entre 0 y A/2 ya que por simetría multiplicando por 2 tenemos el volumen total.
El volumen sera el genarado por la función de la base menos el generado por la recta del lado
$$\begin{align}&V=2·\pi\int_0^{A/2}\left(L^2-\frac{A^2}{4}-\left(4\left(\frac LA \right)^2+1\right)x^2 \right)dx=\\ &\\ &2\pi\left[\left(L^2-\frac{A^2}{4}\right)x -\frac 13 \left(4\left(\frac LA \right)^2+1\right)x^3\right]_0^{A/2}=\\ &\\ &2\pi\left( \left(L^2-\frac{A^2}{4}\right)\frac A2 -\frac 13 \left(4\left(\frac LA \right)^2+1\right)\frac{A^3}{8}\right)=\\ &\\ &2\pi\left(\frac{L^2A}{2}-\frac {A^3}8 -\frac{L^2A}{6}-\frac{A^3}{24}\right)=\\ &\\ &\pi\left(L^2A-\frac {A^3}4 -\frac{L^2A}{3}-\frac{A^3}{12}\right)=\\ &\\ &\pi\left(\frac{2L^2A}{3}-\frac {A^3}3\right)=\\ &\\ &\frac{\pi A}{3}(2L^2-A^2)\\ &\\ &\text{Y si eso corresponde a } 2\pi,\; \\ &a\; \pi/6\text{ corresponde la doceava parte}\\ &\\ &\frac{\pi A}{36}(2L^2-A^2)\end{align}$$Y eso es todo.
