Demuéstrese que para cualquier x perteneciente a R(reales) que verifique x >= 0 , existe ...
Demuestrese que para cualquier x perteneciente a R( reales) que verifique x >= 0, existe y perteneciente a R(reales) tal que y^2=X.
1 respuesta
Para responder este problema necesitaría saber que es lo que estáis estudiando. Si sigues un libro que pueda verse o descargarse por internet me vendría bien. Es que se podría dar una demostración distinta si es Álgebra o si es Análisis.
Yo supongo que sería hallando una sucesión de Cauchy que converja a raíz de x y entonces como en R toda sucesión de Cauchy es convergente tendríamos que raíz de x pertenece a R. Pero seguramente acabaréis de dar en la teoría o un ejercicio previo cómo es o como se fabrica esa sucesión, cosa que yo no puedo ver.
Mira a ver si es de esa forma y puedes ayudarme a dar la respuesta completa.
Hola..es estoy estudiando análisis, me gustaría la demostración por medio de suciones que mencionaste...gracias..no estoy llevando un libro en particular
Los números reales son un cuerpo completo. Cumplen lo de que toda sucesión de Cuchy es convergente, también lo de que toda sucesión monótona creciente y acotada es convergente. Voy a plantear la sucesión y veremos cual de las dos cosas es más fácil de demostrar.
Como primer elemento de la sucesión tomaremos el mayor número entero y tal que y^2<=x.
Como segundo el mayor numero natural y dividido por 10 tal que (y/10)^2 <= x
Como tercero el mayor numero natural y dividido por 100 tal que (y/10^2)^2 <=x
Como enésimo mayor número natural y dividido por 10^(n-1) tal que (y/10^(n-1)^2 <=x
Puede parecer complicada, pero no es otra cosa que el algoritmo de la raíz cuadrada, cada número es el anterior con un decimal más de la raíz.
Ejemplo: sera raíz de 5
x1 = 2
Ahora hay que hallar el máximo y que dividido por 10 y elevado al cuadrado da 5 o menos
(22/10)^2 = (2.2)^2 = 4.84
(23/10)^2 = (2.3)^2 = 5.29
luego
x2 = 22/10
Para x3 hay que dividir y por 100
(223/100)^2 = 4.9729
(224/100)^2 = 5.0176
luego
x3= 223/100
Y la sucesión es
2, 22/10, 223/100
que no es otra cosa que
2, 2.2, 2.23
Que como decía es la representación decimal de la raíz.
Es una sucesión claramente monótona creciente y acotada superiormente bien sea por el propio numero x o por 1 en el caso de x<1 y por lo tanto es convergente.
Y el termino Xn difiere del valor exacto de la raíz de x en un máximo de 10^(-n+1)
Para cualquier epsilon siempre existirá un n tal que 10^(n-1) < epsilon y todos los elementos posteriores difieren menos de epsilon del valor de la raíz que por eso será el límite de la sucesión.
Y eso es todo.
