Demostrar que la raíz cuadrada de un numero real existe

Este problema convendría saber en que contexto sale, pero como me dices que no tienes temario es difícil saber como quieren que lo demostremos. La haré por los axiomas de los números reales.

Sea a € R+ el número del cual vamos a calcular su raíz

Tomaremos este conjunto

C = {x € R| x^2 <=a}

Es un conjunto acotado superiormente, si a < 1 está acotado por 1 y si a>=1 está acotado por a. Y es un conjunto no nulo ya que el 0 siempre pertenece al conjunto.

Por los axiomas de los números reales un subconjunto de R no vació acotado superiormente tiene supremo en R, luego C tiene supremo.

Sea r = sup C

Ahora supongamos que r no es la raíz cuadrada de a, es decir, r^2 distinto de a.

Vamos a demostrar previamente que los cuadrados de los números racionales positivos son densos en R+, es decir, dados dos números distintos x, y € R+ existen números naturales n y m tales que

x < (n/m)^2 < y

Sabemos que los racionales son densos en R+ luego existen i, j, k, l números naturales tales que

x < i/j < k/l < y

Para los números racionales tenemos el algoritmo de la raíz cuadrada de la casita mediante el cual podemos aproximar la raíz cuadrada todo lo que queramos extrayendo decimales y decimales. Dicho algoritmo extrae la raíz cuadrada por defecto, entonces extraeremos la raíz cuadrada (llamémosla s) de k/l con dicho algoritmo con suficientes decimales para que s^2 sea mayor que i/j

S es un número racional ya que es un número decimal con un número finito de decimales, luego s=u/v con u, v enteros no negativos

En resumen, tenemos

x < i/j < (u/v)^2 <= k/l < y

x < (u/v)^2 < y

Ahora que lo veo, el número i/j no hubiera hecho falta, pero da lo mismo.

Luego lo que hemos demostrado importante es que:

Dados dos números distintos x, y € R existe un número racional de la forma (u/v)^2 con u, v enteros no negativos tales que

x < (u/v)^2 < y

Eso es lo que he llamado la densidad de los cuadrados de los números racionales en R.

Y ahora vamos con la demostración por reducción al absurdo.

Supongamos que r = sup C no es la raíz cuadrada de a, es decir, r^2 distinto de a.

1) Si r^2 > a

por la densidad demostrada existe un numero racional u/v tal que

a < (u/v)^2 < r^2

pero entonces los elementos x de C cumplían

x^2 <= a < (u/v)^2 < r^2

x < u/v < r

Luego u/v es una cota superior de C y es menor que r., eso es absurdo porque r era el supremo de C y por lo tanto la menor cota superior de C

2) Si r^2 < a

Por la densidad demostrada antes podemos encontrar u/v racional no negativo tal que

r^2 < (u/v)^2 < a

Entonces u/v € C ya que su cuadrado es menor que a

Pero de nuevo caemos en el absurdo porque r era cota superior de C y existe un elemento de C que es mayor que r.

Luego r^2 no puede ser mayor no menor que a, entonces r^2=a y por lo tanto r existe y es la raíz cuadrada de a.

Y eso es todo.