Como puedo Demostrar que la raíz cuadrada de un número real positivo existe.

Una de las propiedades de los números reales es que todo conjunto acotado superiormente tiene supremo en los números reales. Eso no sucede por ejemplo en los números racionales ya que no son un cuerpo completo

Entonces consideramos este conjunto siendo n el número

A = { x€R+ | x^2 <= n}

es un conjunto con cota superior ya que:

Si 0 < n <= 1 ==> x^2 < 1 ==> x <= 1

Si n > 1 ==> n<n^2 ==> x^2 <=n < n^2 ==> x < n

Luego está acotado y tiene un supremo en R. Sea s = sup(A) y vamos a demostrar que s es la raíz cuadrada.

Si la raíz auténtica, llamémosla r, fuera mayor que s

r^2=n

Luego r€A. Pero r>s cuando s es el supremo de A, eso contradice la definición de supremo luego r no puede ser mayor que s

Y si r fuera menor que s

Sea x € A

x^2 <= n = r^2

x^2 <= r^2

x <= r

Luego r es una cota superior de A y es menor que s. Eso es absurdo porque el supremo es la mínima cota superior.

Luego el supremo s no puede ser ni mayor ni menor que la raíz, luego es la raíz.

Y eso es todo.