¿Cómo se resuelven estos limites?

a)

$$\begin{align}&\lim_{x \to -\infty} \frac {\sqrt{5+x^2}}{x}=\\ &\\ &\text{Podemos meter la x en el radicando, pero para}\\ &\text{conservar el signo debemos ponerlo fuera}\\ &\\ &=\lim_{x \to -\infty} -{\sqrt \frac{5+x^2}{x^2}}=-\sqrt 1 = -1\end{align}$$

b)

Es un resultado que se suele dar por conocido que

lim x-->0 de sen(x) / x = 1

En matemática de más nivel se demuestra por la fórmula de Taylor o la regla de l´Hôpital. En los niveles de estudio más elemental se justifica por un razonamiento geométrico de que al hacer pequeño el ángulo en una circunferencia unidad vienen a coincidir la longitud del arco y de del seno, con lo cual su cociente es uno. Pero no es una demostración estricta donde usen los epsilon y los deltas. Por eso ese límite se considera casi como si fuera un axioma y es muy útil para calcular otros límites.

Lo que sucede con el que nos dan es lo siguiente:

$$\begin{align}&\lim_{x \to 0_-} \frac{senx}{|x|}=-1\\ &\\ &\lim_{x \to 0_+} \frac{senx}{|x|}=1\end{align}$$

No hay límite porque los límites derecho e izquierdo son distintos.

Y eso es todo.