Limites de funciones

Tengo dos pequeñas discrepancias con el enunciado.

Yo lo dejaría así

sea n € N, demostrar que n es par, entonces lim 1/x^n=+infinito,cuando x-->0 y que
si n es impar entonces lim 1/x^n,cuando x-->0 no existe

Sea n par

Dado cualquier K > 0 debemos encontrar un delta tal que si 0 < |x| < delta se cumpla 1 / x^n > K

esa es la definición de que el límite es +oo

1/x^n > K

como n es par se cumple x^n es siempre positivo luego podemos hacer

1 > K·x^n

y como K es positivo podemos poner

1/K > x^n

y la raíz enésima es una función creciente, luego podemos poner

(1/K)^(1/n) > x

Luego tomaremos delta = (1/K)^(1/n), lo escribo con el editor para que lo entiendas mejor.

$$\delta = \frac{1}{\sqrt[n]K}$$

con ello si

|x| < (1/K)^(1/n)

se cumple

|x|^n < 1/K

|x^n| < 1/K

1/|x^n| >K

Si n es impar.

Para los x positivos del intervalo (-delta, delta) hacemos el mismo razonamiento anterior y obtenemos que el límite es + infinito, luego el limite por la derecha es +oo

Pero para los x <0 tenemos

1 / x^n = 1 / [-(-x)]^n = 1 / [-(-x)^n] = - 1/(-x)^n

lim x-->0- de 1/x^n = lim x-->0- de -1/(-x)^n = - lim-->0- de 1/(-x)^n

como ahora (-x) es positivo tenemos

= - lim x-->0+ de 1/x^n = - (+oo) = -oo

Luego los límites por la izquierda y la derecha no coinciden que son son -oo y +oo, por lo tanto no existe el límite.

Y eso es todo.