Ejercicio 7 ecuaciones diferenciales.

La ecuación es

2x^2·y'' - xy' + y = 4x^3 con y(1)=y'(1)=0

Esta vez no nos dicen como en el 5 una solución particular de la homogénea. Pero la función y=x se ve fácilmente que sirve

y=x

y'=1

y''=0

2x^2·0 - x·1 + x = 0

Luego hagamos la solución general de la forma

y=x·u(x)

y' = u + x·u'

y'' = u' + u' + x·u'' = 2u' + x·u''

2x^2(2u' + x·u'') - x(u + x·u') + xu = 4x^3

u''·2x^3 + u'(4x^2-x^2) - xu +xu = 4x^3

u''·2x^3 +u'·3x^2 = 4x^3

u'' + u'·(3/2x) = 2

Ahora hacemos el cambio

z=u'

z'=u''

z' + 3z/(2x) = 2

esto es una ecuación lineal de primer orden.

Hacemos z = v·w

v= e^[- integral de 3/(2x)] = e^[-(3/2)lnx] = e^(ln[x^(-3/2)]) = x^(-3/2)

w = integral de [2/x^(-3/2)] = integral de (2x^(3/2) = 2·(2/5)·x^(5/2) + C1

z= vw = 4x/5 + C1·x^(-3/2)

u = integral de z = (2/5)x^2 + C1·(-2)x^(-1/2) + C2 = (2/5)x^2 + C1·x^(-1/2) + C2

nótese que no hay error, he renombrado -2C1 como C1

y = xu = (2/5)x^3 +C1·sqrt(x) + C2·x

Y ahora hagamos que cumpla las condiciones iniciales

1) y(1) = 2/5 + C1 + C2 = 0

y' = (6/5)x^2 + C1/[2sqrt(x)] + C2

2) y'(1)= 6/5 + C1/2 + C2 = 0

Si a la segunda le restamos la primera

4/5 -C1/2 = 0

C1/2 = 4/5

C1 = 8/5

2/5 + 8/5 + C2 = 0

2+C2 = 0

C2 = -2

y la solución es

y = (2/5)x^3 +(8/5)·sqrt(x) - 2·x

Y eso es todo. Ya me mandarás en otra pregunta lo de la gráfica y como debe hacerse.