Ejercicios de integración por partes
Serias tan amable de ayudarme a resolver los siguientes dos ejercicio de integrales utilizando para ello el método de integración por partes, explicame paso a paso por favor que me cuesta entender el proceso de integrar por partes:
1. \int sen\sqrt {x}
2. \int \arctan \sqrt {x}
1 Respuesta
Ya vi que mandaste la pregunta corregida. Te contestaré aquí el primer ejercicio y en la otra pregunta el otro. Que cada pregunta debe tener un solo ejercicio y más siendo integrales raras como estas.
Sabrás la fórmula:
$udv = uv - $vdu
Un día vi una vieja vestida de uniforme u otras regla mnemotécnicas que hay:
Sea I1 = $sen[sqrt(x)]
u = sen[sqrt(x)] => du = cos[sqrt(x)] dx/ [2sqrt(x)]
dv = dx =======> v = x
I1 = x·sen[sqrt(x)] - (1/2)$x·cos[sqrt(x)] dx / sqrt(x) =
x·sen[sqrt(x)] - (1/2)$sqrt(x)·cos[sqrt(x)] dx =
Integramos esta segunda integral que sale.
Sea I2 = $sqrt(x)·cos[sqrt(x)]dx
u = sqrt(x)·cos[sqrt(x)] ==>
du = cos[sqrt(x)]/[2sqrt(x)]-sqrt(x)·sen[sqrt(x)]/[2sqrt(x)]
du = {(1/2)cos[sqrt(x)]/sqrt(x) - (1/2)sen[sqrt(x)]}dx
dv = dx ==> v = x
I2 = x·sqrt(x)cos[sqrt(x)] - (1/2)$x·cos[sqrt(x)]dx /sqrt(x) + (1/2)$x·sen[sqrt(x)]dx
I2 = x·sqrt(x)cos[sqrt(x)] - (1/2)$sqrt(x)·cos[sqrt(x)]dx + (1/2)$x·sen[sqrt(x)]dx
fijémonos que en el resultado de la integral sale ella misma
I2 = x·sqrt(x)cos[sqrt(x)] - (1/2)I2 + (1/2)$x·sen[sqrt(x)]dx
(3/2)I2 = x·sqrt(x)cos[sqrt(x)] + (1/2)$x·sen[sqrt(x)]dx
I1 = x·sen(sqrt(x) - (1/2)x·sqrt(x)cos[sqrt(x)] - (1/4)$x·sen[sqrt(x)]dx
BUENO, NO LLEGAMOS A NADA, seguimos teniendo una integral cada vez aumenta el exponente de x
EMPEZAMOS DE NUEVO, olvídate de lo hecho aunque no del método de integrar por partes.
$sin[sqrt(x)]dx
Hacemos el cambio de variable
t = sqrt(x)
dt = dx/[2sqrt(x)]
dx = 2sqrt(x)dt = 2tdt
Y la integral queda
2$t·sent·dt =
Y ahora sí que es el momento de integrar por partes
u = t =======> du = dt
dv = sentdt ==> -cost
Y la integral es
= -2tcost +2$costdt = -2tcost + 2sent + C =
Y deshaciendo el cambio
= -2sqrt(x)·cos[sqrt(x)] + 2sen[sqrt(x)] + C
Con lo fácil que era y el lío que me he metido, pero al final está hecha.
