Representación de Funciones de Variable real mediante el uso de series

Para hallar la serie de potencias del seno se deben calcular las potencias sucesivas y usar la fórmula de Taylor

sen'(x) = cosx ==> sen'(0) = 1

sen''(x)= -senx ==> sen''(0) = 0

sen'''(x) = -cosx ==> sen'''(0) = -1

sen''''(x) = senx ==> sen''''(0) = 0

Y como hemos vuelto a senx se vuelve a repetir el ciclo y la formula de Taylor será:

senx = x - x^3 / 3! + x^5 / 5! - x^7 / 7! +....

Podemos ponerla así

$$senx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$$

Queda muy compacta pero te va a confundir porque no se corresponde con la notación de los teoremas de las series de potencias que está diseñada para series donde donde el término n es an· x^n.

Asi que debes tener en cuenta que la serie tiene unos términos con coeficiente 0 intercalados y por lo tanto no podrás usar el criterio del cociente para calcular el radio de convergencia y cuando uses el de la raíz debes tener en cuenta que existen los coeficientes pares cuya raíz enésima tiene límite 0

Usaremos por tanto el criterio de la raíz enésima de an que con la serie puesta con todos los coeficientes es

$$\begin{align}&L=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n!}} =\\ &\\ &\frac{1}{\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n!}}=\\ &\\ &\text {usando la fórmula de Stirling}\\ &\\ &\frac{1}{\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}}}=\\ &\\ &\frac{1}{\lim_{n \to \infty}\frac ne\sqrt[n]{\sqrt{2\pi n}}}=\\ &\\ &\frac{1}{\lim_{n \to \infty}\frac ne·1}= 0\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

El radio de convergencia es 1/L. Y si ese límite es 0 el radio de convergencia es infinito.

Y eso es todo.