¿Determinar si el conjunto de vectores es linealmente dependientes o independientes?

Normalmente cuando pensamos en vectores pensamos en flechitas o esos números seguidos entre comas de R^n.

Pero hay muchas más cosas que cumplen las condiciones para ser vectores, una de ellas son las funciones. Y las funciones tampoco tienen porque ser de - infinito a +infinito, podemos elegir el dominio que queramos.

Entonces las funciones en el intervalo [0, 1] forman un espacio vectorial.

Todo espacio vectorial tiene un vector nulo, en este espacio el vector nulo es la función nula en el intervalo [0,1]. Vamos a llamarla n(x)

n(x) = 0 para todo x €(0,1)

Ahora dos funciones

f(x) y g(x):[0,1] -----> R

Serán linealmente independientes si los escalares a y b que hacen

af(x)+bg(x) = n(x) son a=b=0

asenx+bcosx = n(x)

Luego debe valer 0 para todos los valores x entre 0 y 1

en x=0 tenemos

asen(0) + bcos(0) = 0

a·0 + b·1 = 0

b=0

x= Pi/4 también pertenece al intervalo [0,1]

asen(Pi/4) + bcos(pi/4) = 0

en pi/4 el seno y coseno son iguales

asen(pi/4)+bsen(pi/4) = 0

(a+b)sen(pi/4) = 0

Como sen(pi/4) es distinto de cero

a+b= 0

Y como b era 0

a=b=0

Luego son linealmente independientes.

Y eso es todo.