Despeje de una incógnita

Supongo que ya sabrás que las ecuaciones de grado 3 o 4 tienen un método de resolución exacta prácticamente inviable, sobre todo el grado 4. Y que las de grado 5 o superior no tienen un método general de resolución exacta. Entonces lo que se hace es conseguir soluciones aproximadas por métodos numéricos que son pesados de resolver y hay que andar con cuidado porque si no das una buena aproximación inicial no llevan a la respuesta.

Pero en el siglo XXI (y parte del XX) tenemos los ordenadores que son los que se encargan de resolver estos problemas, igual que ya nadie hace una división o raíz cuadrada sin una calculadora, ya nadie tendría que resolver una ecuación de grado superior a tres sin los ordenadores. Eso no quita que se deba conocer la teoría, pero el trabajo sucio se lo dejaremos al ordenador.

Lo que haremos es preparar la ecuación para que dé un polinomio y luego usaremos un programa que lo resuelva.

$$\begin{align}&970.000= 275490,005 ((1+i)^{-1} + (1+i)^{-2} + (1+i)^{-3} + (1+i)^{ -4})\\ &\\ &\end{align}$$

Se escriben (1+i)^(-1), (1+i)^(-2), etc

Si llamamos x = (1+i)^(-1) la ecuación queda

970.000= 275490,005 (x + x^2 + x^3 + x^4)

970000/275490.005 = x + x^2 + x^3 + x^4

x^4 + x^3 + x^2 + x - 3.520998883 =0

Y ese es el polinomio que mandaremos resolver al ordenador. Yo uso el programa Máxima que es libre.

La orden es:

allroots(x^4 + x^3 + x^2 + x - 3.520998883);

Y las respuestas:

[x=0.94962557644836,

x=-1.609388792979322,

x=1.508277420905219*%i-0.17011839173452,

x=-1.508277420905219*%i-0.17011839173452]

La segunda por negativa y las siguientes por complejas no nos sirven, luego nos quedamos conj la primera.

Ahora hay que recordar que

x = (1+i)^(-1) = 1/(1+i)

x(1+i) = 1

1+i = 1/x

i = (1/x) -1 = (1/0.94962557644836) - 1 = 1.053046616267479 - 1 =

0.053046616267479

Muchísimas gracias por la rapidez, lo he entendido pero ahora mi cuestión es , solo lo podríamos realizar a ordenador?????? no se podría jamás realizar a mano??

Y en el caso de esta:

49200=58320X(1+i)^-2 . Es decir elevado a menos 2

Y en el caso de esta otra:

148500=56116,47x(1+i)^-1+56116,47X(1+1)^-2+56110,47x(1+i)^-3

En estos dos casos se podrían realizar a mano? y como despejaríamos la i?

Muchas gracias

Si, se puede hacer a mano. Aquí tienes el método que se suele emplear. Converge rápidamente.

Si quieres que lo resuelva con él, formúlalo en otra pregunta que es sencillo pero ahora no lo tengo fresco. De todas formas, si no te lo han enseñado no creo que te obliguen a usarlo. Esta también el método de dividir y probar, pero converge muy lentamente, muy lentamente en comparación del de Newton.

Wikipedia, método de Newton

El ejercicio

49200=58320X(1+i)^(-2)

al cambiar x=(1+i)^(-1)

se traduce en

49200 = 58320x^2

que se resuelve de forma inmediata.

el ejercicio

148500=56116,47x(1+i)^-1+56116,47X(1+1)^-2+56110,47x(1+i)^-3

se traduce en

148500 = 56116,47x + 56116,47x^2 + 56110,47x^3

Y las ecuaciones de grado tres tienen una fórmula ya muy complicada e irrecordable.

Wikipedia, fórmula general grado 3.

A la vista de la fórmula comprenderás porque prefiero usar el ordenador. De la fórmula de grado 4 mejor olvídate que existe.

Y eso es todo.

HOla de nuevo

cuando pongo x no me refiero a x como incógnita sino a x como signo de multiplicar, o sea lo que hay que despejar es i, y el circunflejo indica el elevado:

49200=58320(1+i)-2 . Es decir elevado a menos 2,es que no se como se pone elevado si usted me lo puede poner y despejarlo lo entendería mejor.

148500=56116,47(1+i)-1+56116,47(1+1)-2+56110,47(1+i)-3. Es decir el menos 1,menos 2 y menos 3 serían elevados.

POr favor necesito el despeje entero con el resultado final,no se como despejar los elevados negativos.

Gracias