Distancia de un plano al origen

Has puesto un plano repetido:

"...los planos x+y+z-11=0 y x+y+z-11=0 y x-y+5z-10=0"

El primero y segundo son idénticos.

Mándame el enunciado correcto.

si me equivoqué es entre los 2 planos x+y+z-11=0 y x-y+5z-10=0

Vale, entonces no es como con tres planos. Con tres planos distintos el plano original pasaba por un punto y girándolo adecuadamente sobre ese punto había que conseguir que la distancia al origen fuera 3. Ahora el plano girará, pero sobre una recta.

Los tres planos confluyen en una recta y su vector director es perpendicular a esa recta. La familia de vectores perpendiculares a esa recta se puede obtener como combinación lineal de los vectores directores de los otros dos planos.

Los vectores directores de los planos son los coeficientes de x, y, z de la ecuación de los planos

(1,1,1) y (1,-1,5)

luego el vector director del plano será

v=a(1,1,1)+b(1,-1,5)

y la ecuación del plano será

(a+b)x +(a-b)y + (a+5b)z + D = 0

La distancia al punto (0,0,0) será

$$\begin{align}&\frac{|0+0+0+D|}{\sqrt{(a+b)^2+(a-b)^2+(a+5b)^2}}=3\\ &\\ &\frac{|D|}{\sqrt{a^2+b^2+2ab+a^2+b^2-2ab+a^2+25b^2+10ab}}=3\\ &\\ &\frac{|D|}{\sqrt{3a^2+27b^2+10ab}}=3\\ &\\ &\\ &D^2 = 27a^2+243b^2 +90ab\end{align}$$

En realidad no son dos incógnitas, podemos tomar como vector director del plano otro que sea proporcional y en el cual a=1

D^2 = 27 + 243b^2 + 90b

Y nos falta una ecuación para poder calcular D y b. Dicha ecuación la obtendremos haciendo que el plano pase por un punto cualquiera de la intersección de los otros dos

x+y+z-11=0

x-y+5z-10=0

sumándolas

2x+6z =21

tomamos z=0

2x=21

x = 21/2

21/2 + y + 0 -11 = 0

y = 11-21/2 = 1/2

Luego el punto (21/2, 1/2, 0) pertenece a los dos y debe pertenecer al que estamos calculando. Recuerda que hemos hecho a=1

(1+b)x + (1-b)y + (1+5b)z + D = 0

(1+b)(21/2) +(1-b)(1/2) + (1+5b)·0 + D = 0

21+21b +1 - b = -2D

20b + 22 = -2D

10b + 11 = -D

D^2 = 100b^2 + 220b + 121

Recuerda la otra ecuación que calculamos hace un rato

D^2 = 27 + 243b^2 + 90b

Luego las igualamos

100b^2 + 220b + 121 = 27 + 243b^2 + 90b

143b^2 - 130b - 94 = 0

b= [130 +- sqrt(130^2 + 4·143·94)] / (2·143) =

[130 +- sqrt(70668)] / 286 =

(130 +- 265.834535) / 286 =

1.384036836 y -0.4749459266

De una ecuación de arriba deducimos

D = 11 - 10b = -2.84036836 y 15.749459266

Los planos son dos, uno por arriba y otro por abajo o uno por la izquierda y otro por la derecha, ambos están a la misma distancia del punto (0,0,0)

plano 1:

2.384036836x - 0.384036836y + 7.92018414z - 2.84036836 = 0

plano 2:

0.5250540734x +1.474945927y - 1.374729633z + 15.749459266 = 0

Es un acto de fe creer que está bien.

Y hago comprobaciones y no está bien.

Atajare algo usando teoría un poco superior.

El haz de planos que tienen una recta en común es la combinación lineal de dos de ellos

a(x+y+z-11) + b(x-y+5z-10) = 0

Haremos q

Perdona se mandó sola la respuesta, continuaré resolviéndola bien, aunque ahora tengo poco tiempo y puede ser que tarde mucho.

Decía que haremos que a=1

(1+b)x + (1-b)y +(1+5b)z -11-10b = 0

Y la distancia al punto (0,0,0) debe ser 3, luego aprovechando cálculos hechos antes

|11+10b| sqrt(3+27b^2+10b) = 3

|11+10b| = 3sqrt(3+27b^2+10b)

Elevando al cuadrado

121 + 220b + 100b^2 = 9(3+27b^2+10b)

121 + 220b + 100b^2 = 27 + 243b^2 + 90b

143b^2 - 130b - 94 = 0

Es la misma ecuación, sería la misma respuesta

b = [130 +- 6sqrt(1963)] / 286 =

[65 +- 3sqrt(1963)} / 143 =

1.384036836 y -0.4749459266

y los planos son:

Plano 1:

2.384036836x - 0.384036836 + 7.92018414z - 24.84036836 =0

Plano 2:

0.5250540734x +1.474945927y - 1.374729633z - 6.250540734 = 0

Y ahora ya están comprobados y bien. Antes me equivoqué donde dile que se deducía

D = 11 - 10b, en realidad era

D = -11 -10b.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si tienes alguna duda, consúltame. Y si ya lo entendiste no olvides puntuar.

muchísimas gracias, pero sabes que en el libro sale la respuesta al final y es es 2x-3y+6z-21=0 o también 92x+327y-96z-1059=0 , tengo que dejarlo expresado como numero entero.