Planos en R3

1) x+y-2z=2 <=> z = (x+y-2)/2
a) Para x=0, y=0 => z=-1 => punto (0,0,-1)
Para x=2, y=0 => z=0 => punto (2,0,0)
Para x=0, y=2 => z=0 => punto (0,2,0)
Restamos los dos últimos al primero y obtenemos dos vectores directores del plano:
(2,0,0)-(0,0,-1)=(2,0,1)
(0,2,0)-(0,0,-1)=(0,2,1)
Hacemos que el vector buscado (a,b,c) sea perpendicular a estos dos:
(2,0,1)(a,b,c)=0 => 2a+c=0
(0,2,1)(a,b,c)=0 => 2b+c=0
Haciendo a=1 => c=-2a=-2, b=1
Luego (1,1,-2) es un vector (libre) perpendicular al plano dado
b) Los de antes
c) Se utilizan los vectores directores de antes y se elige el origen como punto de situación.
Todos los puntos P del plano buscado son de la forma, donde u y v son reales cualesquiera:
P = (0,0,0) + u(2,0,1) + v(0,2,1)
Luego, si P=(x,y,z):
x = 2u
y = 2v
z = u + v
Si queremos ponerlo en forma Ax+By+Cy=D, entonces como pasa por el origen ==> D=0
Ahora, para u=1,v=0 => 2A+C=0
y para u=0, v=1 => 2B+C=0
Haciendo A=2 => C=-2 => B=1
Luego H1: 2x+y-2z=0 es el plano buscado.
d)Para H2 hacemos lo mismo:
P = (1,1,-2) + u(2,0,1) + v(0,2,1)
x = 2u + 1
y = 2v + 1
z = u + v - 2
Para u=0, v=0 => A+B-2C=D
Para u=-1/2, v=0 => B-(5/2)C=D => 2B-5C=2D
Para u=0, v=-1/2 => A-(5/2)C=D=> 2A-5C=2D
Haciendo D=1 ==>
A+B-2C=1
2B-5C=2
2A-5C=2
==> (restando las 2 últimas) => 2B-2A=0 => A=B => 2A-2C=1 y 2A-5C=2, restándo => -2C+5C=-1 => C=-1/3 => A =B=(1+2C)/2 = 1/6
Luego la ecuación es (1/6)x+(1/6)y-(1/3)z=1, que multiplicando todo por 6 queda:
H2: x+y-2z=6