Planos y rectas paralelos

Cuando te dan un plano

Pi1: Ax + By + Cz + D = 0

lo que es fácil conseguir es el vector director del plano

v1 = (A, B, C)

que es perpendicular al plano.

Si tenemos que encontrar un plano Pi2 paralelo a Pi1 el vector director de Pi2 será paralelo al de Pi1, luego se puede tomar ese mismo vector v2=v1 y la ecuación del plano Pi2 es

Pi2: Ax + By + Cz + E = 0

Ahora bien puede haber planos paralelos sin que tengan iguales los coeficientes de x, y, z

x + y + z + 1=0

3x + 3y + 3z - 2 = 0

Dos planos son paralelos si

A1/A2 = B1/B2 = C1/C2

Y la recta paralela es un poco más complicada. Debemos encontrar un vector perpendicular al vector director del plano y hay infinitas posibilidades ya que son infinitas las rectas paralelas a un plano.

Entonces se debe cumplir que el producto escalar del vector del plano y de la recta sean 0.

Puedes dar dos coordenadas cualesquiera al vector de la recta y la tercera te la dará la obligación de perpendicularidad. Veamos, sea v2=(r, s, t) el vector de la recta.

Ar+Bs+Ct = 0

das a r y s un valor cualquiera y entonces

t = -(Ar+Bs)/C

Esto podrá hacerse siempre que C sea distinto de 0.

Ejemplo1:

Si el plano es

Pi: -x+2y +3z - 2 =0

El vector director del plano es (-1, 2, 3)

El producto escalar será

-r+2s+3t=0

t = (r+2s)/3

y tenemos vectores directores de la recta paralela tales como

(3,0,1)

(1,1,1)

(0,3,2)

Y las rectas paralelas son cualquier punto + un parámetro por el vector (1,1,2)+t(3,0,1)

x=1+3t

y = 1

z=2+t

O en ecuación como intersección de planos para el tercer vector (0,3,2) pasando por (-1,0,2)

x=-1

y/3 = (z-2)/2

Ejemplo 2:

Si el plano es

Pi: 3x-4y +2=0

el vector director es (3,-4,0)

3r-4s = 0

s = 3r/4

Y respecto a la t le podemos dar el valor que queramos y tenemos vectores como estos:

(4,3,0)

(4,3,2)

(1, 3/4, -2)

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no pregúntame. Y si ya está bien no olvides puntuar.