Gauss-Jordan 2x4
Quisiera saber la resolución de este sistema:
3x+y+z+w=0
5x-y+z-w=0
A simple vista las incógnitas pueden ser cero, pero me piden desarrollarlo y no lo logro hacer.
Al igual que este sistema:
-z-y+2x-w=-1
2x+y-2z-2w=-2
3x-3w=-3
-x+2y-4z+w=1
Seria de gran ayuda.
Es un sistema compatible indeterminado. Tiene infinitas soluciones dependiendo de varios parámetros. El número de parámetros es 4 menos el número de ecuaciones linealmente independientes.
3x+y+z+w=0
5x-y+z-w=0
Cuando hay dos ecuaciones son independientes si no son proporcionales y estas no lo son porque la proporción en x es 3/5 mientras que en y es -1
Luego el número de parámetros será 4-2 = 2
Para solucionarlo mejor haremos aunque solo sea un cero en la segunda ecuación, le sumaremos la primera y queda
8x + 2z = 0
Si tomamos como parámetro a z tendremos
8x = -2z
x = -z/4
Con esto vamos a la primera ecuación
-z/4 +y + z + w = 0
Aquí tomaremos w como el otro parámetro y queda
y = -3z/4 -w
Luego la solución completa es:
x = -z/4
y = -3z/4 - w
z = z
w = w
---------------------------------------
-z-y+2x-w=-1
2x+y-2z-2w=-2
3x-3w=-3
-x+2y-4z+w=1
Ponemos en orden las incógnitas de la ecuación primera y de paso pondremos primera la cuarta y hacemos la matriz
-1 2 -4 1 | 1 2 -1 -1 -1 | -1 2 1 -2 -2 | -2 3 0 0 -3 | -3
La primera fila multiplicada por 2 se sumará a la 2ª y 3ª. Y multiplicada por 3 a la 3ª
-1 2 -4 1 | 1 0 3 -9 1 | 1 0 5 -10 0 | 0 0 6 -12 0 | 0
Y ahora dividiremos la 3ª por 5 y la cuarta por 6. Como quedarán iguales sobará la 4ª
-1 2 -4 1 | 1 0 3 -9 1 | 1 0 1 -2 0 | 0 0 0 0 0 | 0
No es necesario que los ceros estén bajo la diagonal, la tercera ya tiene 2 ceros y no vamos a conseguir otro más, luego dejaremos ya la matriz y resolvemos.
Pondremos como parámetro a z. Entonces la tercera será
y-2z = 0
y = 2z
Vamos a la segunda
3y - 9z + w = 1
6z - 9z + w = 1
w = 1+3z
Y ahora a la primera
-x +2y-4z+w=1
-x + 4z -4z +1+3z = 1
-x = -3z
x = 3z
Luego la solución en función del parámetro z € R es
x = 3z
y = 2z
z = z
w = 1+3z
Y eso es todo.
