Calculo del Área por las sumas de Riemann!
¡Hola! :D Tengo una duda respecto a un ejercicio, se que sale muy fácil y rapido por integrales, pero también debo aprender hacerlos por las sumas de Riemann. Debo calcular el ára bajo la curva de f(x)=x^3 en el intervalo (1,3) considerando los n subintervalos de longitud 2/n. Se que el resultado es 20 (lo hice por integrales). Quisiera saber si existe una forma mas simplificada de desarrollar esta sumatoria, porque cuando la hago se me extiende mucho y me complico :s
De antemano, gracias por la respuesta :)
1 Respuesta
Monse 483!
En realidad un estudiante normal solo podría hacer mediante sumas de Riemman las integrales de
f(x) = k
f(x) = kx
En cuanto a monomios se refiere.
Poder resolver las de x^2 y x^3 ya requiere consultar la wikipedia cuanto menos. Y poder hacer las de órdenes superiores supone dar por cierto que la suma de
1^n + 2^n + 3^n + 4^n + ......+ m^n
tiene un resultado de la forma
m^(n+1) / (n+1) + (un polinomio en m de grado n)
Lo cual en la práctica viene a ser equivalente a saber que la integral de x^n es x^(n+1) / (n+1).
Entonces la fórmula que necesitaremos aquí es la suma de los primeros n cubos.
La suma es
1^3+2^3+3^3+...+n^3 = [n(n+1)/2]^2
que si la desarrollamos es
(n^2+n)^2 / 4 = n^4 / 4 + 2n^3 / 4 + n^2 / 4
Que como ves cumple lo que te decía sobre que el término principal tiene grado 4 y denominador 4.
Con esto verás que hay un límite que se convierte en 1/4 y ya sae todo.
Espero que te sea suficiente con esto. Si no me lo dices y hago el desarrollo completo.
Hola de nuevo valeroasm! Ok, ya veo, si no es mucha molestia, me gustaría ver el desarrollo para estar totalmente clara! :) Y Muchísimas gracias nuevamente.
Tomaremos n divisiones del intervalo y haremos la suma superior, se podría hacer lo mismo con la inferior el resultado sería el mismo. El paso será la longitud del intervalo entre n
(3-1)/n = 2/n
La suma superior será la suma del área de los rectángulos cuya base es 2/n y alturas los valores de la función entre 1+ 2/n y 3
$$\begin{align}&\overline S=\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^n\frac 2n·\left(1+\frac{i}{n}\right)^3=\\ &\\ &\lim_{n\to \infty}\frac 2n\sum_{i=1}^n\left(1+\frac{3i}n+\frac{3i^2}{n^2}+\frac{i^3}{n^3}\right)=\\ &\\ &\text{el sumatorio de 1 es n}\\ &\\ &\text{el segundo sumatorio es}\\ &\\ &\frac 3n\sum_{i=1}^{n}i=\frac 3n \frac{n(n+1)}{2}=\frac{3(n+1)}{2}\\ &\\ &\end{align}$$Para el tercero hay que usar la fórmula de la suma de los n primeros cuadrados
<a>http://lasmatematicas.eu/algebra/algebra/suma-de-los-cuadrados-de-los-n-primeros-numeros-naturales</a>
La fórmula sale al final
S = n(n+1)(2n+1) / 6
Con ello el tercer sumatorio es
$$\begin{align}&\frac{3}{n^2}\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{3}{n^2}·\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\\ &\\ &\frac{(n+1)(2n+1)}{2n}\\ &\\ &\text{y el cuarto sumatorio es con la fórmula que te di}\\ &\\ &\frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^ni^3=\frac{1}{n^3}\frac{n^2(n+1)^2}{4}=\\ &\\ &\\ &\frac{(n+1)^2}{4n}= \frac{n^2+2n+1}{4n}\end{align}$$Y ahora juntamos todos los sumatorios, pero el que escribe no puede ver como quedan las fórmulas, asi que para poder ver los sumatorios que hice voy a mandar la pregunta y luego si que se ven y continuaré.
Espera.
$$\begin{align}&S=\lim_{n\to \infty}\frac 2n\left(n+\frac{3n+3}{2}+\frac{2n^2+3n+1}{2n}+\frac{n^2+2n+1}{4n} \right)=\\ &\\ &\lim_{n\to \infty}2\left(1+\frac{3n+3}{2n}+\frac{2n^2+3n+1}{2n^2}+\frac{n^2+2n+1}{4n^2} \right)=\\ &\\ &\text{los términos donde el grado del denominador es mayor}\\ &\text{que el del numerador tienden a 0, luego queda}\\ &\\ & 2\left(1+\frac 32+1+\frac 14 \right)=\\ &\\ &\\ &2 \left(\frac{4+6+4+1}{4}\right)=\frac {15}{2}\end{align}$$A ver, me equivoqué nada más empezar en el paso que se sumaba. Es así:
$$\begin{align}&\overline S=\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^n\frac 2n·\left(1+\frac{2i}{n}\right)^3=\\ &\\ &\\ &\lim_{n\to \infty}\frac 2n\sum_{i=1}^n\left(1+\frac{6i}n+\frac{12i^2}{n^2}+\frac{8i^3}{n^3}\right)=\\ &\\ &\\ &\text{el sumatorio de 1 es n}\\ &\\ &\\ &\text{el segundo sumatorio es}\\ &\\ &\\ &\frac 6n\sum_{i=1}^{n}i=\frac 6n \frac{n(n+1)}{2}=3(n+1)\\ &\\ &\\ &\text{el tercero es}\\ &\\ &\frac{12}{n^2}\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{12}{n^2}·\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\\ &\\ &\\ &\frac{2(n+1)(2n+1)}{n}\\ &\\ &\\ &\text{y el cuarto sumatorio es con la fórmula que te di}\\ &\\ &\\ &\frac{8}{n^3}\sum_{i=1}^ni^3=\frac{8}{n^3}\frac{n^2(n+1)^2}{4}=\\ &\\ &\\ &\frac{2(n+1)^2}{n}= \frac{2n^2+4n+2}{n}\\ &\\ &\text{Y agrupando todo}\\ &\\ &S=\lim_{n\to \infty}\frac 2n\left(n+3n+3+\frac{4n^2+6n+2}{n}+\frac{2n^2+4n+2}{n} \right)=\\ &\\ &\\ &\lim_{n\to \infty}2\left(\frac{n^2+3n^2+3n+4n^2+6n+2+2n^2+4n+2}{n^2} \right)=\\ &\\ &\\ &2\lim_{n\to \infty}\left(\frac{10n^2+13n+4}{n^2}\right)=2·10=20\end{align}$$Y ahora ya da el resultado correcto que se obtiene haciendo la integral definida.
