Sumatoria

La propiedad telescópica dice que
m
Sumatoria[ ai+1 - ai] = am+1 - an
i=n
Lo cual resulta bastante evidente ya que los términos intermedios se cancelan.
Ahora bien calcular una sumatoria cualquiera es un problema que en general puede ser posible o no de resolver.
Si, con astucia o algún truco, el término general puede escribirse en la forma
ai+1 - ai
Se convierte en telescópica y por lo tanto muy fácilmente calculable.
Por ejemplo,
m
Sumatoria[ 1/i+1 - 1/i] = 1/m+1 -1/n
i=n
Que resulta bastante inmediato. Ahora bien la diferencia [ 1/i+1 - 1/i] puede estar disimulada así:
(1/i+1)-(1/i)=(1/i).(1/i+1)= 1/(i^2+i)
Por lo tanto que si me piden calcular la sumatoria de 1/(i^2+i) lo que tengo que hacer es el camino inverso factorizar el denominador y luego expresarlo como una diferencia:
Sumatoria entre n y m de 1/(i^2+i)= Sumatoria (1/i+1)-(1/i)
Que por la propiedad telescópica es igual a 1/m+1 -1/n
-----------------------------------------------------------
No hay una regla fija para buscar la forma de convertir en telescópica una suma y solo en algunos casos es posible. Por ejemplo si tengo:
m
Sumatoria[2i+1]
i=1
Pero puedo escribir 2i+1 como la diferencia (i+1)^2-i^2 que es telescópica y resulta
m
Sumatoria[2i+1]=(m+1)^2-1=m^2+2m
i=1
Pero por otra parte
m
Sumatoria[2i+1]=2Sumatoria+Sumatoria[1]=2 Sumatoria+ m
i=1
Con lo que nos queda que
2 Sumatoria+ m= m^2+2m
De donde podemos despejar Sumatoria
m
Sumatoria=(m^2+m)/2
1
Finalmente
m
Sumatoria=m(m+1)/2
1
Que es la conocida suma de los naturales. Esta suma también la podemos demostrar por inducción
Para aplicar inducción la fórmula debe
a)Base inductiva: ser cierta para n=1
b)Paso inductivo: Partiendo de que es cierta para n debemos demostrarla para n+1
a)En nuestro caso es cierta para 1. En efecto es :
1=1(1+1)/2
1=1
b) Si es cierta para m tenemos que
1+2+3+....+n = n (n+1)/2
Si sumamos n+1 en ambos miembros es
(1+2+3+......+n)+n+1 = n (n+1)/2 +(n+1)
(1+2+3+......+n)+n+1 =(n/2 + 1)(n+1)
(1+2+3+......+n)+n+1 = (n+2)/2 (n+1)
(1+2+3+......+n)+n+1 = (n+2) (n+1)/2
Que es la fórmula aplicada a n+1 en lugar de n.
Por lo tanto queda demostrada por inducción.
----------------------------------------------
Otro ejemplo :
Probar por inducción que (4^n)-1 es múltiplo de tres para todo n natural
a) Base inductiva: (4^1)-1=4-1=3 que es divisible por tres
b) Paso inductivo: Suponiendo que
4^n-1
Es múltiplo de tres, si sumamos 3.(4^n) el resultado
3(4^n)+(4^n) -1
también será múltiplo de tres.Pero
3(4^n)+(4^n) -1 = 4.(4^n)-1= 4^(n+1) -1
Que es la afirmación aplicada a n+1 con lo que queda demostrada la inducción.
-----------------------------------------------------------
Otro ejemplo no tan fácil es :
Probar usando la propiedad telescópica que
m
Sumatoria[i^2]=1/6 (2m^3+3m^2+1)
1
Si desarrollamos el cubo
(i+1)^3= i^3+3i^2+3i+1
Entonces
(i+1)^3- i^3=3i^2+3i+1 [1]
Si sumamos entre uno y m en el 1er miembro tenemos una suma telescópica
(Además las otras sumas que nos quedan ya las conocemos excepto la de i^2 que es la que queremos calcular)
Sumatoria[(i+1)^3- i^3]= 3 Sumatoria[i^2]+3 Sumatoria+Sumatoria[1]
La unica sumatoria que no conocemos es la de i^2 ya que
Sumatoria[(i+1)^3- i^3]=(m+1)^3-1^3
por suma telescopica y operando es
Sumatoria[(i+1)^3- i^3]=m^3+3m^2+3m
3 Sumatoria= 3 m(m+1)/2
Sumatoria[1]=1+1+...+1=m
Por lo tanto reemplazando en [1] es
m^3+3m^2+3m =3 Sumatoria[i^2]+3 m(m+1)/2 + m
m^3+3m^2+2m = 3 Sumatoria[i^2]+3/2 m^2+ 3/2m
m^3+3/2 m^2+1/2m = 3 Sumatoria[i^2]
y nos queda entonces que
Sumatoria[i^2]=1/6 (2m^3+3m^2+1)
Con esta técnica podes sacar la suma de cualquier potencia de i sabiendo las suma de las potencias anteriores
-------------------------------------------------------------------------------------