¿Qué valor debe tomar f(-5) para que la función sea continua en x0 = -5?
Dada la función
$$f(x) = (-15x+17x^2+4x^3)/(x+5)$$
continua en x diferente a -5. ¿Que valor debe tomar f(-5) para que la función sea continua en x0 = -5?
1 Respuesta
La función será continua si y solo si el valor de la función en xo=-5 es igual al limite cuando x tiende a -5. Luego lo que haremos es calcular el límite y si existe se lo pondremos a f(-5).
Seguramente que en -5 la función vale 0/0, vamos a comprobarlo. El numerador es:
-15(-5) + 17(-5)^2 + 4(-5)^3 =
75 + 17·25 - 4·125 =
75 + 425 - 500 =0
y el denominado es
-5+5 = 0
Luego el numerador tiene una factor (x+5), vamos a calcular el cociente por Ruffini
4 17 -15 0
-5 -20 15 0
---------------------
4 -3 0 | 0
luego
4x^3 + 17x^2 - 15x = (x+5)(4x^2-3x)
sustituiremos este valor en el límite
$$\begin{align}&\lim_{x\to -5}\frac{4x^3+17x^2-15x}{x+5}=\\ &\\ &\\ &\lim_{x\to -5}\frac{(x+5)(4x^2-3x)}{x+5}=\\ &\\ &\\ &\lim_{x\to -5}(4x^2-3x)=\\ &\\ &4(-5)^2-3(-5) = 100+15=115\end{align}$$Luego hacemos f(-5) = 115 y la función será continua.
Y eso es todo.
