Pregunta 8 de matemática 3
Hola valeroasm!
Calcula el área superficial de una elipsoide
1 Respuesta
Ya me columpié en la pregunta anterior donde por ver una función "inintegrable" dije que no se podía calcular exacta y si que se podía mediante un cambio simultáneo de las dos variables. Luego te la haré como complemento de aquella pregunta.
Esta vez he visto un caso similar, ya que el area del elipsoide se calcularía como la integral de las longitudes de las elipses a lo largo de un eje. Y las longitud de la elipse es una función "inintegrable" por desgracia. Si el elipsoide fuera de revolución, es decir con dos ejes de igual longitud si se podría calcular la superficie exacta.
Bien, pues con estos antecedentes ya no me fiaba de nada por si un cambio a coordenadas esfericas podía obrar el milagro de hacer integrable la función. Pero no, esta vez no lo hay, lo he mirado en la Wikipedia y lo que dan es una fórmula aproximada. La exacta la dan en funcíon de integrales elípticas que son "inintegrables". Recuerdo que cuando digo "inintegrables" estoy diciendo funciones cuya primitiva no puede expresarse como combinación de funciones elementales.
Si necesitas algo más respecto de esta pregunta me lo dices.
------------------------------------------
Y respecto a la que te decía de la integral de superficie aquella
$$\int\int_D \frac{a\;dA}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{a^2-x^2-y^2}}dxdy=
\\
-
\\
x = ucosv
\\
y = usenv
\\
-
\\
J=
\begin{vmatrix}
cosv &-usenv\\
senv &ucosv
\end{vmatrix}
=ucos^2v+usen^2v=u
\\
-
\\
x^2+y^2=u^2
\\
\text{Como la frontera es }
\\
x^2+y^2=ay
\\
u^2=ausenv\implies u=asenv
\\
-
\\
=a\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{asenv}\frac{ududv}{u \sqrt{a^2-u^2}}dudv=
\\
a\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{asenv}\frac{dudv}{\sqrt{a^2-u^2}}dudv=
\\
a\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left[arcsen \frac ua \right]_0^{asenv}dv=
\\
a\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(arcsen\left(\frac{asenv}{a}\right)-arcsen0\right)dv=
\\
a\int_{-\pi/2}^{\pi/2}v\;dv=a \left[\frac{v^2}{2}\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}=
\\
a\left( \frac{\pi^2}{8}+\frac{\pi^2}{8} \right)=a \frac{\pi^2}{4}$$Y esa es la integral de superficie que aquel ejercicio.
Pero para la superficie del elipsoide no hay milagro qu e valga.
Me da gusto que te hayas dado cuenta de lo que se tenia que hacer en el problema anterior, ahora te agradezco por resolver unu problema, pero ojo no es el problema que te planteo inicialmente, el problema que me presentas resuelto no lo he intentado, pero el que yo tengo es mas general. imagina que esto me vino en mi examen, por eso necesito la solución me causa intriga que no me salga
Perdona, no he entendido.
Lo que he resuelto abajo es el ejercicio ese que decía que no se podía integrar, creo que es ese mismo, lo que pasa es que el punto de partida es donde lo dejé.
Y con respecto al que planteas aquí te puedo poner la integral con la cual se calcularía pero ya te dije que no tiene solución en término de funciones elementales. Mira a ver no haya confusión. El elipsoide es:
x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1
Y si los tres son distintos no hay integral elemental. Mientras que si hay dos ejes iguales entonces es la figura de revolución generada por una elipse, los elementos diferenciales de la superficie son circunferencias y entonces si se puede hacer la integral de las longitudes de todas esas circunferencias y sale el área.
Por favor, aclárame bien qué tengo que hacer. Ahora tengo que dejar el ordenador, pero cuando vuelva me pondré.
Cuando te refieres que no se puede expresar en funciones elementales es porque la calculadora no la resuelve, pero te diste cuenta que por sustitución puedes hallar el valor de la integral, y (no tiene solución en términos de funciones elementales..¿¿???)
Mejor siendo mas claros deduce la ecuación te paso la respuesta,
http://es.wikipedia.org/wiki/Elipsoide y esas expresiones E y F son integrales elípticas deduce cuales son esas integrales, y por ultimo te mencionan una aproximación según entiendo es la mejor aproximación, deduce como llegas a esa aproximación, demuestra que el margen de error es mínimo.
Vamos a ver si me aclaro ya de una vez. No me me gusta decir la frase entera porque es larguísima, por eso digo "inintegrable". Y cuando digo inintegrable me refiero a que no existe función primitiva expresable como combinación de funciones elementales. Es decir que no hay ninguna combinación de funciones elementales que derivada dé la función que tenemos en la integral. Y hay teoría sobre eso y se conocen muchas funciones "inintegrables". Y cuando yo te digo que una función es "inintegrable" es que es "inintegrable", porque lo sé de buena tinta no por que la calculadora no sepa hallar la primitiva. De todas formas, si la calculadora no sabe hallar la primitiva de una integral simple (no doble o triple) no la vas a calcular tú por más que te pongas. Las integrales elípticas son "inintegrables" sino te hubiera puesto en su lugar senos, cosenos, exponenciales u otras funciones elementales.
Si hay tablas de las funciones elípticas, que no lo sé, se han calculado por métodos numéricos de integración. Y los métodos numéricos de integración se hacen con números no con constantes genéricas a, b y c. Para saber sobre las integrales elípticas busca el articulo sobre ellas.
Yo no he inventado esa aproximación, no sé si habrá métodos mejores, puede que si pero más complejos. El error que se comete es intolerable luego lo mejor es hacer la integral definida por uno mismo con ayuda del ordenador por supuesto. Pero eso solo se puede hacer con datos concretos de las dimensiones del elipsoide.
Desengáñate, puede parecer duro, pero no hay una fórmula para calcular la superficie de un elipsoide, de la misma manera que no existe para hallar la longitud de una elipse. Todo cálculo de esos a lo haces a mano o con las supuestas tablas usando interpolaciones, lo mismo que supongo habrás hecho con la tabla de probabilidad de las distribuciones normales.
