¿Cómo se tipifica una normal y por qué?

Sea X una variable aleatoria normal

$$X \sim N(\mu,\sigma)$$

La tipificación consiste en transformar la variable X en otra variable Z que sea una N(0,1) para poder utilizar las tablas de la normal estándar N(0,1).

Y la transformación es esta

$$Z =\frac{X-\mu}{\sigma}$$

Si solo restases la media y no dividieras entre la desviación lo que obtendrías sería una distribución normal

$$N(0,\sigma)$$

que no tiene la misma función de distribución de probabilidad que una N(0,1), mientras que si divides entre la desviación te queda una N(0,1)

Si lo queremos demostrar con rigor acudamos a la definición de la distribución normal.

$$\begin{align}&P(X<x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}dt=\\ &\\ &\text{haciendo el cambio de variable }\\ &\\ &z=\frac{t-\mu}{\sigma}\quad  dz =\frac {dt}{\sigma}\quad dt=\sigma dz\\ &\\ &t=-\infty\implies z=-\infty\\ &t=x \implies z=\frac{x-\mu}{\sigma}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &= \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\frac{x-\mu}{\sigma}} e^{-\frac{z^2}{2}}\sigma dz=\\ &\\ &\\ &\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\frac{x-\mu}{\sigma}} e^{-\frac{z^2}{2}} dz=\\ &\\ &\\ &P\left(Z\le \frac{x-\mu}{\sigma}\right)\\ &\\ &\\ &donde\; Z\; es\; una\; N(0,1)\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.

No entiendo el ultimo paso, 1/raíz(2pi) integral( -z*e^(-z^2/2) ) y después sustituimos, pero no me sale lo mismo.Además, me sale un -infinito que no se...xD

Dentro de la integral tenemos un factor sigma, como la variable de integración es la z, entonces sigma es una constante yu puede salir fuera de la integral. Como fuera tenemos 1/sigma, la que sale de dentro se simplifica con la que había fuera. Y lo que queda en la última integral es la definición de probabilidad entre -oo y (x-mu)/sigma de una variable N(0,1)

Y el -infinito ese que me dices te sale como no me digas lo que has hecho no sé que dices.

Vale, la ultima es la normal(0,1) , pero al principio, en la primera integral, por qué pones t no sería x también?