Integral de la función que define la campana de gauss

Se nota que no has dado toda la teoría que necesitas. El problema que planteas no se enfoca como problema de integración de Calculo-Análisis Matemático sino de Estadística. Efectivamente el cálculo es el que obtendría de hacer esa integral, pero sucede que esa integral no tiene función primitiva elemental. Y por lo tanto debería hacerse mediante métodos numéricos. Lo que sucede es que esa integral es muy importante para gran cantidad de fenómenos estadísticos y ya esta calculada en unas tablas. Hoy en día incluso ya no se emplean esas tablas sino programas de estadística y hojas de cálculo de Excel o similares. Lo que pasa es que todavía se considera didáctico el saber emplear esas tablas.

Bueno, vayamos con el problema. Primero hay que decir que en la notación establecida para esto se usa la letra sigma en fvez de la alfa para la desviación estándar y en lugar de la x con barra se emplea la letra mu.

Si se hace el cambio de variable

$$z =\frac{x-\mu}{\sigma}$$

se obtiene lo que se llama una distribución de probabilidad normal N(0,1) donde el 0 significa que la media de Z es 0 y el 1 es la desviación estándar de Z

La función de distribución de Z una vez hecho el cambio de variable y sustituido la diferencial de x por la de z es

$$f(z)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^\frac{-z^2}{2}$$

Y esa es la función de distribución para la que se han hecho las tablas de los valores que resultan de la integración entre -infinito y un valor concreto. Con ellas se puede calcular cualquier probabilidad de sucesos que sigan una distribución normal.

En nuestro caso tenemos

P(5.8 <= X <= 6.3)

Hacemos el cambio de variable, que en estadística se llama tipificar la distribución

Z = (X- 6.4) / 0.73

Para X=5.8 tenemos Z = (5.8-6.4)/0.73 = - 0.8219178082

Para X=6.3 tenemos Z = (6.3-6.4)/0.73 = - 0.1369863014

luego la probabilidad es

P(- 0.8219178082 <= Z <= - 0.1369863014) =

que se puede descomponer como

P(Z <= - 0.1369863014) - P(Z <= - 0.8219178082) =

Un problema adicional es que las tablas solo tienen valores positivos de Z, pero como la varizable aleatoria Z tiene media 0 es simétrica respecto del eje Y y se calculan asi

P(Z <= - a) = 1 - P(Z<= a)

con lo cual es

= 1 - P(Z <= 0.1369863014) - 1 + P(Z <= 0.8219178082) =

y ahora buscaremos esas probabilidades en la tabla

Tabla(0.13) = 0.5517

Tabla(0.14) = 0.5557

Valor interpolado en (0.137) = 0.5517 +0.7(0.0040) = 0.5545

Tabla(0.82) = 0.7939

Tabla(0.83) = 0.7967

Valor interpolado en (0.8219) = 0.7939 + 0.19(0.7967-0.7939) = 0.794432

y la cuenta que llevamos pendiente será

= 1 - 0.5545 -1 + 0.794432 = 0.239932

Esa es la probabilidad, 0.239932

Ahora mismo estoy en Linux y no tengo Excel, pero en LibreOffice se puede hacer equivalente.

Simplemente sería esta la función a poner:
= DISTR.NORM(6,3;6,4;0,73;1)-DISTR.NORM(5,8;6,4;0,73;1)

Y el resultado es

0.239958973

Que más exacto porque las tablas solo tienen 4 decimales.

Usted es un genio, no sabe cuanto le agradezco por esto en serio que no se imagina cuando llevo buscando toda esta información y como se pudo dar cuenta no tengo ni la menor idea del tema, asi que me cuesta mucho entender lo que leo, y el profesor nos dio una explicación muy superficial pues no es clase de estadística si no laboratorio de física mecánica.

solo quería preguntarle si la probabilidad que le dio tiene unidades o se dice en porcentaje ...?

muchas muchas gracias