Como despejar W en esta formula:

Escribamos bien la ecuación, el signo que se usa para la potenciación es "^".

Luego, no se usa el * para la multiplicación, no se suele usar nada salvo que haya confusión, en cuyo caso se usa el punto intermedio "·". Y la confusión a la que hago referencia puede muy bien venir por el uso de variables con dos letras, es por eso que habría sido mejor no usar la constante "De" sino una que tuviera una sola letra, ya que así puede confundirse con el producto de una variable "D" por otra "e".

Resolvámosla de todos modos, teniendo presente que De es una sola constante o variable. El corchete es innecesario, la operación es la misma independientemente del orden

De = 1,3(wh)^0,625 / (w-h)^0,25

Pasamos el denominador a la izquierda

De(w-h)^0,25 = 1,3(wh)^0,625

Extraemos logaritmos neperianos:

ln[De(w-h)^0,25] = ln[1,3(wh)^0,625]

Aplicamos varias veces las propiedades de los logaritmos

ln(ab) = ln(a) + ln(b)

ln(a^b) = b·ln(a)

ln(De) + ln[(w-h)^0,25] = ln(1,3) + ln[(wh)^0,625]

ln(De) + 0,25ln(w-h) = ln(1,3) + 0,625ln(wh)

ln(De) + 0,25ln(w-h) = ln(1,3) + 0,625[ln(w) + ln(h)]

ln(De) + 0,25ln(w-h) = ln(1,3) + 0,625ln(w) + 0,625ln(h)

Pasamos los términos con w a la izqauierda y viceversa

0,25ln(w-h) - 0,625ln(w)= ln(1,3) + 0,625ln(h) - ln(De)

Dividimos todo por 0,25

ln(w-h) - 2,5ln(w) = [ ln(1,3) + 0,625ln(h) - ln(De)] / 0,25

Y por fin pongamos ya los valores, hago la cuenta de golpe en la calculadora

ln(w-0,25) - 2,5ln(w) = -26,176963856

ln[(w-0,25)/w^2,5] = -26,176963856

Elevamos e a cada uno de los dos miembros

(w-0,25)/w^2,5 = e^(-26,176963856)

Elevamos al cuadrado:

(w-0,25)^2 / w^5 = e^(-52.353927712)

w^2 - 0,5w + 0,625 = e^(-52.353927712)w^5

e^(-52.353927712)w^5 - w^2 + 0,5w - 0,625 = 0

Y lamentablemente no hay fórmula generica para resolver despejando los ecuaciones de grado 5, Hay metodos de aproximación a la respuesta, pero no se puede despejar w.

Ya sabía yo que se llegaría a algo así porque en ln(w-h) no se podía hacer nada. Pero estas ecuaciones se resueven con logaritmos si es que se puede resolverlas.

Así que deja que empiece de nuevo y vamos a llegar al mismo sitio pero con menos pasos:

De = 1,3(wh)^0,625 / (w-h)^0,25

De(w-h)^0,25 = 1,3(wh)^0,625

Elevamos a la ocho en ambos lados para que ambos exponentes se vuelvan enteros:

(De)^8 · (w-h)^(0,25·8) = (1,3)^8 · (wh)^(0,625·8)

(De)^8 · (w-h)^2 = (1,3)^8 ·(wh)^5

(w-h)^2 =(1,3/De)^8 ·h^5 · w^5

(w-0,25)^2 =(1,3/380)^8 · 0,25^5 · w^5

w^2 - 0,5w + 0,625 = 1,83222198 · 10^(-23) w^5

Llamemos a = 1,83222198 · 10^(-23) que es un número muy pequeño, casi cero.

aw^5 - w^2 + 0,5w - 0.625 = 0

Me pica la curiosidad comprobar que a es el e^(-52.353927712) de antes, tiene que serlo. Y tras efectuar la cuenta se comprueba que sí.

Pues como te decía, ahora no queda otro remedio que buscar la solución con algún programa. Yo voy a usar Maxima pero puedes usar Derive, Matlab, Mathematica, etc.

La orden es:

allroots(1.83222198*10^(-23)*x^5-x^2+0.5*x-0.625);

Y la respuesta

[x=0.75*%i+0.25,x=0.25-0.75*%i,x=3.2850193754982341*10^7*%i-1.8966068374037091*
10^7,x=-3.2850193754982341*10^7*%i-1.8966068374037091*10^7,x=3.7932136248074181*10^7]

Son 5 respuestas, 4 son complejas y solo una real que es esta:

w = 3.7932136248074181*10^7 = 37932136,248...

Si hubieramos puesto:

realroots(1.83222198*10^(-23)*x^5-x^2+0.5*x-0.625);

Solo da las respuesta real de esta forma:

w = 1272791286350741 / 33554432

Que si lo efectuamos es exactamente lo mismo.

Y eso es todo lo que puede hacerse.