Probar que para todo n natural y por inducción matemática
$$3^{2n+2}+2^{6n+1}$$Es un múltiplo de 11
1 respuesta
Imagino que este será similar al que acabo de mandarte.
Comprobamos que se cumple para n=1
3^4 + 2^7 = 81 + 128 = 209 = 11·19 luego se cumple
Y demostramos que si se cumple para n se cumple para n+1
La expresión para n+1 es
3^[2(n+1)+2] + 2^[6(n+1)+1] =
3^(2n+2+2) + 2^(6n+6+1) =
Tal como hicimos antes, sacaremos fuera todo lo que sobre en los exponentes para que queden como si fueran los de la expresión para n
= 3^2 · 3^(2n+2) + 2^6 · 2^(6n+1) =
9 · 3^(2n+2) + 64 · 2^(6n+1) =
Ahora descomponemos los términos que se pueda en sumas de dos que forma que una sea un múltiplo de 11 que luego puede quitarse a efectos de comprobar la divisibilidad por 11
= 9 · 3^(2n+2) + 55 · 2^(6n+1) + 9 · 2^(6n+1)
quitamos el término 55· 2^(6n+1) que es múltiplo de 11 y no s queda
9 · 3^(2n+2) + 9 · 2^(6n+1) =
9[3^(2n+2) + 2^(6n+1)]
Y lo puesto entre corchetes es la expresión para n que es múltiplo de 11 por hipótesis de inducción, luego la expresión para n+1 es múltiplo de 11 y queda demostrado el enunciado.
Tus explicaciones claras y sencillas
Te lo agradezco
Para contestar el comentario de Patricio.
La segunda parte de la demostración por inducción es siponer que se cumple para n y entonces decudir que se cumple para n+1
Luego supongamos que se cumple para n
3^(2n+2) + 2^(6n+1) = 11k
9[3^(2n+2) + 2^(6n+1) = 11(9k)
9 · 3^(2n+2) + 55 · 2^(6n+1) + 9 · 2^(6n+1) = 11·(9k)+ 55· 2^(6n+1)
9 · 3^(2n+2) + 55 · 2^(6n+1) + 9 · 2^(6n+1)= 11[9k+11·2^(6n+1)]
9 · 3^(2n+2) + 64 · 2^(6n+1)= 11[9k+11·2^(6n+1)]
3^2 · 3^(2n+2) + 2^6 · 2^(6n+1) = 11[9k+11·2^(6n+1)]
3^(2n+2+2) + 2^(6n+6+1) = 11[9k+11·2^(6n+1)]
3^[2(n+1)+2] + 2^[6(n+1)+1] = 11[9k+11·2^(6n+1)]
Luego la expresión para n+1 es múltiplo de 11.
Pero es que es redundante y diría que una perdida de tiempo hacer lo mismo que ya se hizo al revés, por eso no se hace y entre matématicos se sabe cuando se puede dar la vuelta a la cadena de razonamientos o cuando no.
Disculpa, como afirmas que lo ultimo es verdadero? Esta multiplicado por 9, y como sabes cual es la hipotesis inductiva de entrada, osea debes tener expresion1 = expresion2 por H.I, entonces expresion1(n+1)=expresion2(n+1) . No quedo clara tu demostracion - Patricio D'Andrea
Mi demostración está bastante clara. 3^(2n+2) + 2^(6n+1) es múltiplo de 11 por hipótesis de inducción y a partir de esa hipótesis yendo hacia atrás en la cadena de razonamientos que he hecho se deduce que 3^[2(n+1)+2] + 2^[6(n+1)+1] es múltiplo de 11. Luego si se cumple para n se cumple para n+1. Lo que pasa es que se obvia esto de dar la vuelta a los razonamientos, se sobreentiende. No obstante te lo voy a hacer para que lo veas. Dentro de un rato lo tendrás. - Valero Angel Serrano Mercadal
Ahh, segun tu demostracion, cualquier multiplo de 11 multiplicado por 9, sigue siendo multiplo de 11, que es a lo que llegaste. Y lo probé en una calculadora y efectivamente me dio que sigue siendo multiplo de 11. Ahora me quedó mas claro verificandolo - Patricio D'Andrea
Ya tienes la demostración completa en la respuesta a la pregunta. Saludos. - Valero Angel Serrano Mercadal
Te agradezco enormemente, yo no soy un matemático, soy un estudiante de Ciencias de la Computación cursando el primer año, por eso no es tan evidente para mi. De todas formas muchísimas gracias, estaba luchando con este ejercicio. Saludos! - Patricio D'Andrea
Una corrección, me parece que la factorización de la izquierda quedaría = 11[9k+5·2^(6n+1)] . Es decir, un 5 en vez del 11 ya que sino el producto seria 121 no 55 - Patricio D'Andrea
Si, es verdad que saqué mal el factor común. Pero lo importante era que se pudiera sacar.Saludos - Valero Angel Serrano Mercadal