Covarianza de dos variables aleatorias. 100

5.100)

a) Una variable normal estándar es una N(0,1)

Luego E(Y1) = 0

$$\begin{align}&E(Y_2) = E(Z^2)\\ &\\ &\text{Sabemos que:}\\ &\\ &V(Z)= E(Z^2)-[E(Z)]^2\\ &\\ &E(Z^2) = V(Z)+[E(Z)]^2 = 1+0^2= 1\end{align}$$

b) Bueno, pues el ejercicio es 4.199 es completito, pero me parece que no dice nada especial, tendremos que hacer operaciones como si no nos hubieran dicho nada

E(Y1·Y2) = E(Z^3)

$$\begin{align}&E(Z^3) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}z^3e^{-\frac{z^2}{2}}dz=\\ &\\ &u= z^2 \implies du=2zdz\\ &\\ &dv= z e^{-\frac{z^2}{2}}dz \implies v = -e^{-\frac{z^2}{2}}\\ &\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left[-z^2e^{-\frac{z^2}{2}}\right]_{-\infty}^{+\infty}+\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} ze^{-\frac{z^2}{2}}dz =\\ &\\ &\\ &0+2E(Z)= 0+ 2·0 = 0\end{align}$$

El primer sumando es cero porque la función es simétrica respecto de cero, para cualesquiera dos valores opuestos que tomáramos como límites la expresión entre corchetes era cero y en el límite a infinito también. Y el segundo ha ido a ser la expresión exacta de 2 veces la esperanza de Z que la conocemos y es cero.

c) Ya conocemos o hemos calculado todas las esperanzas que intervienen en la siguiente fórmula

Cov(Y1,Y2) = E(Y1·Y2) - E(Y1)·E(Y2) = 0 - 0·1 = 0

d) Si, es cierto que P(Y2>1 | Y1>1)=1 ya que la variable Y2 es el cuadrado de la variable Y1 y si un número es mayor que 1 también lo es su cuadrado.

Pues esto nos va a confirmar que Y1 e Y2 no son independientes. Ya que si lo fueran, debería cumplirse

P(Y2>1 | P(Y1>1) = P(Y2>1) = 1

La cual es obviamente falso porque P(Y2>1) = 1 - P(Y2<1)

y P(Y2<1) no es nula, es la probabilidad de una N(0,1) en el intervalo [-1,1] = 0.8413 -(1-0.8413) = 0.6828

con lo que P(Y2>1) = 1 - 0.6828= 0.3174 que es distinta de 1

Y eso es todo.