Espacios topologicos de un conjunto
encuentra el interior, el exterior y la frontera de los siguientes suconjuntos de
$$R^{2}$$$$Z={puntos de coordenadas enteras}={(x,y):x,y \in Z}$$
1 respuesta
Toda bola centrada en un punto de coordenadas enteras contiene puntos de coordenadas no enteras, en concreto:
i) Si (x, y) son coordenadas enteras:
Si el radio de la bola >= 1 tiene el punto (x+1/2, y+1/2)
Y si r < 1 tiene el punto (x+r/2, y+r/2)
Ii) Si alguna coordenada no es entera el propio (x, y) tiene coordenadas no enteras.
Luego el interior es el conjunto vacío.
El exterior es el conjunto de puntos con alguna coordenada no entera, es decir R^2-Z
Ya que si una coordenada no es entera, supongamos la x, entonces la parte entera de x es distinta se x. Denotaré pe(x) = parte entera de x.
Y si tomamos la bola abierta de radio = min{x- pe(x) , pe(x)+1-x} ningún punto de ella tiene la coordenada x entera.
Y la frontera son los puntos cuyas bolas tienen siempre al gún punto de Z y del complementario. En este caso son los puntos de coordenadas enteras. Toda bola centrada en uno de ellos contiene el punto y contiene puntos de coordenadas no enteras.
Y eso es todo.
