Problema de aplicación de derivadas
Hola! Me podrías auxiliar en resolver este problema?
Un grupo de ingenieros ambientalistas dedicados al estudio de los efectos de la capa de ozono sobre el planeta, realizó un proyecto que consistió en colocar en altamar, un grupo de barcos que convierten el agua en nubes, con las cuales se pretenden cubrir los agujeros que existen en la capa de ozono
Al paso de algunos meses, los ingenieros han descubierto que la cantidad de kilómetros que cubren los barcos sigue la ecuación: y=x^2 + 16x - 57. Donde x representa el tiempo en horas que las embarcaciones permanecen activas. También han establecido que después de un determinado tiempo, los navíos se calientan y por ello, empiezan a deteriorarse. Mediante la ecuación y= -x^2 + 16x - 57, se pretende encontrar el momento en el cual sucede esto.
Muchas gracias de antemano.
1 respuesta
Está bien que alguien intente salvar el planeta. Pero el problema no lo veo muy claro. Me das la ecuación dos veces y es distinta por el signo del término de grado dos.
Antes de nada advierto que no se puede usar la variable equis porque el pésimo corrector ortográfico la cambia por "por", luego usaré z en lugar de equis.
Creo que la ecuación correcta es la que tiene el signo menos porque tendrá un máximo, mientras que la que tiene el signo más tendrá un mínimo. Así que haré las cuentas con
y = f(z) = -z^2 + 16z - 57
Para calcular los máximos y mínimos hacemos la derivada y la igualamos a cero
f'(z) = -2z + 16 = 0
-2z = -16
z = -16/(-2) = 8
Luego en z=8 hay un máximo o mínimo relativo.
Para saber cuál de las dos cosas es tenemos dos formas.
La que creo más sencilla es calcular la derivada segunda en ese punto, y si es positiva es un mínimo y si es negativa es un máximo.
f''(z) = -2
Es negativa para todos los valores, también para z=8, luego es un máximo.
La otra forma es por el signo de la derivada primera.
Antes de 8, por ejemplo en 0 vale
f'(0) = -2·0 +16 = 16
Después, por ejemplo en 10 vale
f'(10) =-2·10 +16 = -4
Eso significa que f crece antes del 8 y decrece después, luego 8 es un máximo.
Y todo cobra sentido. Hasta las 8 horas crecen los kilómetros cubiertos y después van decreciendo. Luego a las 8 horas es cuando empiezan a deteriorarse.
Eso es todo.
