Ecuación recta tangente y plano normal a una curva

16). El vector tangente al camino es la derivada de la función (o camino que parece que están llamando a las funciones de R en R^n)

f(t) = (2t^2+1, 3t-2)

f '(t) = (4t, 3)

Entonces este vector debe ser paralelo a v=(2,-1)

(4t, 3) = k(2, -1)

esto son dos ecuaciones

4t = 2k

3 = -k ==> k = -3

y vamos a la primera ecuación con ese valor de k

4t = 2(-3) = -6

t = - 3/2

Y ese es el único valor que lo cumple t = - 3/2

19) La recta tangente será una recta cuyo vector director sea paralelo al vector derivada en el punto y que pase por ese punto.

f(t) = (t+1, 3t-1, 2t-5)

Esta tiene truco. La que llaman curva es una recta, luego la recta tangente es la propia recta y lo es en cualquier punto, luego la recta tangente es

r(t): (t+1, 3t-1, 2t-5)

o expresándola en ecuaciones paramétricas

x = 1+ t

y = -1 + 3t

z = -5 + 2t

El plano normal es el plano perpendicular a la recta tangente. Y el vector director de un plano coincide con el vector director de una recta perpendicular a él.

Luego (1,3,2) es vector director del plano. Y la ecuación de ese plano que pasa por (xo, yo, zo) es

(x-xo) + 3(y-yo) + 2(z-zo) = 0

El punto (xo,yo,zo) nos han dicho que es el punto f(to) luego queda

x - (1+to) + 3[y - (3to-1)] + 2[z - (2to-5)] = 0

x - 1 - to + 3y - 9to + 3 + 2z - 4to + 10 = 0

x + 3y + 2z - 14to + 12 = 0

Esa es la ecuación del plano normal en p=f(to)

Y eso es todo.