Dos subespacios forman una suma directa
Hola !!! V o F
a)Dos subespacios forman una suma directa si la intersección tiene dimensión cero
b) Un subconjunto de un espacio vectorial V,es un subespacio vectorial si es cerrado pra la suma de vectores de V.
me explicas con ejemplos Saludos!!!
a) Verdadero. Dos subespacios forman una suma directa cuando su intersección es el vector nulo. Y el vector nulo es un subespacio vectorial de dimensión cero, luego ambas definiciones son equivalentes.
Ejemplo.
Sea S1 el subespacio generado por (1,1,1)
y sea S2 el subespacio generado por (1,0,0) y (1,1,0)
Los vectores de S1 tienen la forma(x, x, x)
Los vectores de S2 tienen la forma (y, y+z, 0)
La única forma de que generen el mismo vector es si x=0, pero entonces el vector será (0,0,0) luego la suma será directa.
Además la dimensión de S1 es 1 y la de S2 es 2 con lo que la suma directa es un espacio de dimensión 3 que es R3.
b) Falso.
Además tiene que tener el vector nulo y que cada elemento tenga su inverso.
Considera el conjunto C de vecyores de R3 tal que las tres componentes son positivas estrictamente.
La suma de esos vectores siempre da otro vector cuyas componentes son positivas, luego es un conjunto cerrado para la operación suma. Pero no es un subespacio ya que el (0,0,0) no pertenece a él y ningún vector tiene opuesto, ya que tendría las tres componentes negativas.
Y eso es todo.
