Demostración de aproximación de funciones continuas 4

Sea L el límite del sumatorio de an y sea fn(x) la función sumatorio hasta n de an·x^n

Hay un teorema que dice que una sucesión de funciones fn converge uniformemente a una función f en un conjunto A si y solo si

$$\begin{align}&\lim_{n \to \infty} sup\{|f_n(x)-f(x)| ; x€A\} = 0\\ &\\ &\text{En la función que nos dan es}\\ &\\ &|f_n(x)-f(x)|=\left|\sum_{i=1}^n a_ix^i-f(x)\right|=\left|\sum_{i=n+1}^{\infty}a_ix^i  \right|\le\\ &\\ &\sum_{i=n+1}^{\infty}|a_ix^i|=\sum_{i=n+1}^{\infty}a_i|x^i|\le\sum_{i=n+1}^{\infty}a_i\\ &\\ &Como \sum_{i=1}^na_n\rightarrow L \\ &\forall \epsilon>0\; \exists m \in N \text{ tal que si }n\gt m \implies\left|\sum_{i=1}^na_n-L  \right|\lt\epsilon\\ &\\ &\text{L es la suma hasta n más la suma hasta infinito}\\ &\\ &\left|\sum_{i=1}^na_n-\left(\sum_{i=1}^na_i+\sum_{i=n+1}^{\infty}a_i \right)  \right|\lt\epsilon\\ &\\ &\left|-\sum_{i=n+1}^{\infty}a_i\right|\lt \epsilon\\ &\\ &\sum_{i=n+1}^{\infty}a_i\lt \epsilon\\ &\\ &\text{Luego resumiendo}\\ &\\ &\forall \epsilon\gt0 \;\exists m\in N: n\gt m \implies\left|\sum_{i=1}^n a_ix^i-f(x)\right|\lt \epsilon\\ &\\ &\text{por lo tanto}\\ &\\ &\lim_{n\to \infty}\left|\sum_{i=1}^n a_ix^i-f(x)\right|=0 \implies\\ &\\ &\lim_{n \to \infty} sup\left\{\left|\sum_{i=1}^n a_ix^i-f(x)\right| ;\; x€[-1,1]\right\} = 0 \implies\\ &\\ & f_n\text{ converge uniformemente a }f\end{align}$$

Y eso es todo, estoy destrozado de lo que he tenido que pensar, por favor manda el otro ejercicio en otra pregunta.