Calcular el volumen sólido al girar la región limitada por las curvas dadas alrededor del eje x
Calculé el áre de la región
$$y=x^3-x, y=3x$$
mi resultado es
$$\int(-4x+x^3)dx=\frac{x^4}{4}-2x^2+C \int^2_{-2}(-4x+x^3)\zeta (4x-x^3)dx=-4$$Pero piden calcular el volumen sólido al girar la región limitada por las curvas dadas alrededor del eje x. Muchas gracias por su apoyo.
1 Respuesta
Menuda diferencia va a haber al girar sobre el eje X.
Lo que tiene que integrarse son funciones de x que ya la tenemos. Hacemos la gráfica para saber los limites.
Que se cortan en x=0 está claro, veamos el otro punto de corte
x^3-x=3x
x^3=4x
x^2=4
x=+-2
y =+-6
La figura es como un diábolo, es simétrica respecto del eje, calcularemos solo el volumen de la parte derecha y se multiplica por 2. Al volumen del cono generado por 3x habrá que restarle el volumen de la curva x^3-x- Voy a hacerlo en la misma integral, pero se restan después de elevar al cuadrado, no antes.
$$\begin{align}&V_{derecha}=\pi\int_0^2[9x^2 -(x^3-x)^2]dx=\\ &\\ &\pi\int_0^2(9x^2-x^6-x^2+2x^4)dx=\\ &\\ &\pi\int_0^2(8x^2-x^6+2x^4)dx=\\ &\\ &\pi\left[\frac{8x^3}{3}-\frac{x^7}{7}+\frac{2x^5}{5} \right]_0^2=\\ &\\ &\pi \left(\frac {64}{3}-\frac{128}{7}+\frac{64}{5}\right)=\\ &\\ &\pi \left(\frac{64·7·5-128·3·5+64·3·7}{3·7·5} \right)=\\ &\\ &\frac{1664\pi}{105}\\ &\\ &\text{recordemos que son dos partes}\\ &\\ &V_{dos\;partes}= \frac{3328\pi}{105}\end{align}$$Y eso es todo.
