Como identificar la relación transitiva por medio de la matriz

Por lo que veo la matriz marca con unos los elementos relacionados, de tal modo que si el conjunto es C={a1, a2, ...,an} entonces

ai R aj <==> Mij=1

Claramente se ve que la relación es reflexiva si y solo si la diagonal principal es todo 1.

También se ve claramente que tiene la propiedad simétrica si la matriz es simétrica respecto de la diagonal principal.

Y la propiedad transitiva es la que no se ve tan clara, veamos que se puede deducir.

Será simétrica cuando

(ai R aj) y (aj R ak) ==> ai R ak

o en forma matricial

Mij=1 y Mjk=1 ==> Mik=1

Esto quiere decir que la fila i tendrá los 1 de la fila j y la columna k los 1 de la columna j

Esto quiere decir que si por ejemplo

Una fila tiene 100110011

las filas 1, 4,5, 8 y 9 también tienen 100110011

Y si una columna tiene

101011001

las columnas 1, 3, 5, 6 y 9 también son 101011001

Vamos a verlo con un ejemplo. Sean los numeros 0 a 8 y la relación de equivalencia es

aRb <==> a-b es multiplo de 3

Esta relación tiene estas clase de equivalencia {(0,3,6), (1,4,7), {2,5,8)} y su matriz sería

1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1

La fila 1 es igual que aquellas filas donde hay un 1 en la fila primera O si lo quieres mirar de otra forma, si transpones la fila primera alli donde haya un 1 esa fila será igual. LO mismo sirve para otra fila

Si tomamos una fila, las columnas donde hay 1 en esa fila y las filas donde esas columnas tienen 1 se forma una cuadricula con todo 1.

Mucho mas facíl sería ver esa cuadrícula si pusiermos los números en este orden

0,3,6,1,4,7,2,5,8

la matriz sería

1 1 1 0 0 0 0 0 0 
1 1 1 0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1 0 0 0
0 0 0 1 1 1 0 0 0
0 0 0 1 1 1 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 1 1 1
0 0 0 0 0 0 1 1 1
0 0 0 0 0 0 1 1 1

Y eso es todo, la verdad es que es difícil explicar sin pizarra o bolígrafo.