Si A y B son marices del mismo tamaño y conmutan, entonces AB es simétrica.

Yo veo razonable lo que dice el enunciado, pero vamos a probarlo.

Veamos como es un termino de AB =C y BA = D

$$\begin{align}&c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}\\ &\\ &d_{ij}= \sum_{k=1}^{n}b_{ik}a_{kj}\\ &\\ &\text{veamos como sería el elemento }d_{ji}\\ &\\ &d_{ji}= \sum_{k=1}^{n}b_{jk}a_{ki}=\sum_{k=1}^{n}a_{ki}b_{jk}\end{align}$$

¡Ah, pues pensaba qu que iba a dar cij = dji pero no tienen porque serlo. Eso sería si A y B fueran simetrícas.

Bueno, pues probando con matrices fáciles he dado con estas

[1 1]   [2 2]   [2 2]
[0 0] x [0 0] = [0 0]
[2 2]   [1 1]   [2 2]
[0 0] x [0 0] = [0 0]
  

Las 2 matrices conmutan y la matriz resultado no es simétrica respecto de la diagonal principal que eso se entiende por matriz simétrica.

Luego es falso lo que dicen

Y eso es todo.

Según tengo entendido una matriz simétrica signidica que es aquella que A=A transpuesta es decir algo como esto:

$$\begin{pmatrix}
  a & b & c \\
  b & e & f \\
  c & f & i
 \end{pmatrix}$$

si conmutan, no se supone que AB=C y BA=C?

No entendí por que puso esto en sumatoria, pues para las matrices multiplicación no se haría de otra manera? multiplicando cada fila con cada columna y sumando los resultados para dar cada uno de los componentes de la nueva matriz

Agradezco de nuevo su ayuda

Si, una matriz simétrica es la que es igual que su transpuesta.

Si A y B fueran simétricas y conmutaran, sí se cumpliría que AB=BA=C es simétrica tal como demostraba en lo que hice de los sumatorios.

Pero no nos dicen que A y B sean simétricas.

Por eso cambio de método y me dedico a buscar la refutación del enunciado que se refuta bien fácil con esa dos matrices que encuentro.

Lo de la sumatoria es la expresión de cada elemento de la matriz producto. El elemento c sub ij del producto AB es

$$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{i{n}}b_{nj}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$$

Todo depende de si el profesor os lo ha querido enseñar como sumatoria o sin sumatoria pero es lo mismo. Tampoco yo sé si estás estudiando en el colegio o ya es la universidad. Si fuera la universidad no tendría que resultarte extraño el uso de sumatorias.

Y eso es todo.