Triangulacion de matrices y autovalores

Las operaciones elementales de sumar a una fila/columna otra fila/columna multiplicada por una constante lo que mantienen invariable es el determinante de la matriz, pero no mantienen los valores propios.

Los valores propios se mantienen cuando la matriz se multiplica por delante por otra y por detrás por la inversa, normalmente se pone la inversa delante y detrás la no inversa

B = P^-1 · A · P

B y A tienen los mismos valores propios. Y si A es diagonalizable existiría una matriz P tal que B sería una matriz diagonal.

Respecto a las técnicas para calcular los valores propios sin hacer el polinomio característico no sé lo que habreís estudiado. Yo lo úncio que puedo hacer es deducir a partir de la definición de valor propio y vector propio.

Av = kv

Donde a es la matriz, k el valor propio y v el vector propio.

Entonces lo primero que veo es que v1=(1,1,1,1) es un vector propio, ya que

Av1= (7,7,7,7)^t = 7(1,1,1,1)^t

Luego 7 es un valor propio con vector propio (1,1,1,1)^t

Y lo segundo que veo es que si en la diagonal resto 3 en todos los elementos la matriz queda toda con unos, luego se verifica que

|A-3id|=0

Luego el 3 es otro valor propio

Además, el rango que queda en A-3id es 1, luego el 3 es un valor propio de multiplicidad 3.

Y el subespacio vectorial propio del valor propio 3 tiene dimensión 3 porque la matriz es diagonalizable por ser real simétrica.

Se calcula sencillamente. De la única ecuación que queda el sustituir x por 3

1 1 1 1 | 0

Tomamos dos incógnitas igual a cero y las otras dos tienen que ser opuestas, eso nos dará 3 vectores propios linealmente independientes como estos

u=(1,-1,0,0)

v=(1,0,-1,0)

w=(1,0,0,-1)

Y eso es todo, si supiera la teoría que has dado a lo mejor te habría dado otra forma de calcularlo. Espero que te sirva y lo hayas entendido. Sino entendiste algo pregúntamelo, y si ya está bien no olvides puntuar.