Ejercicios analisis matematico
Hola quería saber si me podrían ayudar con estos 2 ejercicios .
Muchas Gracias.
Ejercicio 3.- Demostrar, utilizando la Fórmula de Taylor, que f(x)= en (x = 4)^3 - 4 en x=4 tiene un punto de inflexión, y decidir si es máximo o mínimo. Justificar cada respuesta.
Ejercicio 4.- Decidir la veracidad de la siguiente afirmación y justificar la respuesta:
Si se sabe que y = e^-3x + e^2x + 3 , entonces y´´ + y´ - 6y +18 = 0
Muchas Gracias.
Ejercicio 3.- Demostrar, utilizando la Fórmula de Taylor, que f(x)= en (x = 4)^3 - 4 en x=4 tiene un punto de inflexión, y decidir si es máximo o mínimo. Justificar cada respuesta.
Ejercicio 4.- Decidir la veracidad de la siguiente afirmación y justificar la respuesta:
Si se sabe que y = e^-3x + e^2x + 3 , entonces y´´ + y´ - 6y +18 = 0
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
3. f(x) = (x-4)^3 - 4 en x = 4
No considero acertado el enunciado, si es punto de inflexión es punto de inflexión, no es máximo ni mínimo. Supongo que quería decir que x=4 es un punto crítico (la derivada se hace cero).
Tampoco se que pinta la fórmula de Taylor para decidir si un punto es máximo o mínimo. En este caso nos tiene que devolver el mismo polinomio.
f(4) = - 4
f '(x) = 3(x-4)^2
f '(4) = 0
f ''(x) = 6(x-4)
f ''(4) = 0
f '''(x) = 6
f '''(4) = 6
f ''''(x) = 0
f(x) = -4 + 0(x-4) + (0/2)(x-4)^2 + (6/6) (x-4)^3 = (x-4)^3 - 4
Nos da lo mismo como te decía.
El criterio para saber si un punto crítico es máximo mínimo o punto de inflexión es este:
Hallamos la derivada segunda en ese punto, si es positiva es un mínimo, si es negativa es un máximo, si es cero no se sabe.
Y el criterio ampliado es, calculamos derivadas hasta obtener la primera que no se anule en ese punto.
Si es una derivada impar es un punto de inflexión. Si es par se actúa como antes, es máximo si es negativa y mínimo si es positiva.
En nuestro caso, la primera derivada que so se anula es la tercera que es impar, luego x=4 es un punto de inflexión. La tangente se hace horizontal pero la función continúa creciendo.
4) y = e^-3x + e^2x + 3 , entonces y´´ + y´ - 6y +18 = 0
Pues lo mejor que puede hacerse es calcularlo para ver si es verdad.
y = e^(-3x) + e^(2x) + 3
y' = -3e^(-3x) + 2e^(2x)
y'' = 9e^(-3x) + 4e^(2x)
Y ahora
y´´ + y´ - 6y +18 =
9e^(-3x) + 4e^(2x) -3e^(-3x) + 2e^(2x) - 6(e^(-3x) + e^(2x) + 3) + 18 =
reordenamos y efectuamos
9e^(-3x) - 3e^(-3x) - 6e^(-3x) + 4e^(2x) + 2e^(2x) - 6e^(2x) -18 + 18 = 0
Y en efecto, era verdad.
Y eso es todo.
No considero acertado el enunciado, si es punto de inflexión es punto de inflexión, no es máximo ni mínimo. Supongo que quería decir que x=4 es un punto crítico (la derivada se hace cero).
Tampoco se que pinta la fórmula de Taylor para decidir si un punto es máximo o mínimo. En este caso nos tiene que devolver el mismo polinomio.
f(4) = - 4
f '(x) = 3(x-4)^2
f '(4) = 0
f ''(x) = 6(x-4)
f ''(4) = 0
f '''(x) = 6
f '''(4) = 6
f ''''(x) = 0
f(x) = -4 + 0(x-4) + (0/2)(x-4)^2 + (6/6) (x-4)^3 = (x-4)^3 - 4
Nos da lo mismo como te decía.
El criterio para saber si un punto crítico es máximo mínimo o punto de inflexión es este:
Hallamos la derivada segunda en ese punto, si es positiva es un mínimo, si es negativa es un máximo, si es cero no se sabe.
Y el criterio ampliado es, calculamos derivadas hasta obtener la primera que no se anule en ese punto.
Si es una derivada impar es un punto de inflexión. Si es par se actúa como antes, es máximo si es negativa y mínimo si es positiva.
En nuestro caso, la primera derivada que so se anula es la tercera que es impar, luego x=4 es un punto de inflexión. La tangente se hace horizontal pero la función continúa creciendo.
4) y = e^-3x + e^2x + 3 , entonces y´´ + y´ - 6y +18 = 0
Pues lo mejor que puede hacerse es calcularlo para ver si es verdad.
y = e^(-3x) + e^(2x) + 3
y' = -3e^(-3x) + 2e^(2x)
y'' = 9e^(-3x) + 4e^(2x)
Y ahora
y´´ + y´ - 6y +18 =
9e^(-3x) + 4e^(2x) -3e^(-3x) + 2e^(2x) - 6(e^(-3x) + e^(2x) + 3) + 18 =
reordenamos y efectuamos
9e^(-3x) - 3e^(-3x) - 6e^(-3x) + 4e^(2x) + 2e^(2x) - 6e^(2x) -18 + 18 = 0
Y en efecto, era verdad.
Y eso es todo.
