Progresiones aritméticas y geométricas

Sea x el primer término de la aritmética y sea y el primero de la geométrica

Los términos serán

x, x+d, x+2d

y, ry, r^2·y

Y nos dicen

1) x+y = 85

2) x+d+ry = 76

3) x+2d+r^2·y = 84

x+x+d+x+2d = 126 ==> 3x+3d = 126 ==>

4) x+d=42

Luego tenemos un sistema de 4 ecuaciones, pero no es un sistema lineal, así que habrá que ver como hacemos para resolverlo

AQUÍ VENDRÍAN todos las cálculos que he intentado hacer para resolver el sistema y no lo he conseguido.

HASTA QUE HE decidido plantear el problema de otra forma.

En vez de ser x el primer elemento de la sucesión aritmética vamos a hacer que sea el segundo. Entonces la sucesión aritmética sería

x-d, x, x+d

Y vamos a empezar a resolver por el final, donde dice:

"sumando los tres términos de la progresión aritmética se obtiene 126"

Entonces

x-d + x + x+d = 126

3x = 126

x = 42

Asi ya sabemos cuál es el término intermedio de la aritmética y va hacer mucho más fácil resolver las 3 incógnitas que quedan, que ahora serán estas:

1) 42 - d + y = 85

2) 42 + ry = 76

3) 42+d + r^2·y = 84

despejo y en la primera

y = 85-42+d = 43+d

despejo r en la segunda

r = (76-42)/y = 34/(43+d)

Sustituyo esos valores en la tercera

42 + d + [34^2/(43+d)^2](43+d) = 84

pasando cosas y simplificando queda

d + 1156/(43+d) = 42

multiplicando todo por (43+d)

(43+d)d + 1156 = 42(43+d)

43d + d^2 + 1156 = 1806 + 42d

d^2 + d - 650 = 0

d = [-1 +- sqrt(1+2600)] / 2 = [-1 +- 51] / 2 = 25 y -26

y = 43+d = 68 y 17

r = 34/y = 34/68 y 34/17 = 1/2 y 2

Y las dos soluciones son:

Aritmética 17, 42, 67

Geométrica 68, 34, 17

O

Aritmética 68, 42, 16

Geométrica 17, 34, 68

Y eso es todo.