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No sé cuando les daría por llamar moderna a la matemática, hay libros de álgebra moderna bien rancios y esta geometría es la de toda la vida.
Tenemos que los ángulos x y m son iguales por ser correspondientes a dos rectas paralelas. Y los ángulos m y y son iguales por ser ángulos alternos internos de esas mismas rectas. Entonces
x=m=y
x=y
Luego el triángulo ACE es isósceles y los lados opuestos a los dos vértices iguales son iguales, luego
AC=AE
Los triángulos EBC y ABD son semejantes por el teorema de Thales, luego tienen proporcionales los lados correspondientes y se cumple
EB/AB = BC/BD
Como EB=EA+AB y BC=BD+DC tenemos
(EA+AB)/AB = (BD+DC)/BD
EA/AB + 1 = 1+DC/BD
EA/AB = DC/BD
Recordemos la igualdad que deducimos arriba de AC=AE o EA que es tal como lo tenemos
AC/AB = BC/BD
Bueno, esto es lo mismo que dice el enunciado, simplemente hay que cambiar numeradores con denominadores, lado izquierdo con derecho y algunas letra en el orden de los segmentos
Hacemos las tres cosas.
AB/AC = BD/DC
BD/DC = AB/AC
BD/CD = BA/CA
Esta última es la que pedían exactamente y ha quedado demostrada.
Eso es todo.
