Teorema de Bolzano

Definición 2: Sea (M,p) un espacío métrico. Un subconjunto A de M es acotado, si y solo si, existe un número real k > 0 tal que p(x,y) para todo par x,y € A. Si A es acotado, el diámetro del conjunto se define mediante  

                         diamA = sup{p(x,): para todo par x,y € A}

Definición 3: Un subconjunto  A del espacío M es totalmente acotado, si y solo si, dado un epsilon > 0, existe una familia F = {A(1),A(2),...,A(n)} de subconjuntos de M, tal que

                         diamA(k) < epsilon para todo k = 1,...,n y A subconjunto propio de la unión                                                                                             desde j=1 hasta n de A(j).

 Con estos conceptos en mente, resuelva las siguientes preguntas:

Demuestre que si  un subconjunto A del espacio M es totalmente acotado, entonces, es acotado.

Demuestre que un subconjunto A del espacío M es totalmente acotado, si solo si, toda sucesión de puntos contenidas en A, posee una sucesión de Cauchy.

Perdoneme las dos preguntas juntas.