Si l(x) = mx+b corta la gráfica de f(x) = x^2 en un punto único, entonces l(x) es la recta tangente a f en el punto de corte
Hay que demostrar lo que dice el enunciado.
Suponiendo que (a, a^2) es el punto de corte y es único, debemos llegar a que
m = 2a y b = -a^2
Porque la recta tangente está dada por
T(x) = 2a(x - a) + a^2 = 2ax - a^2.
Además, f(a) = l(a) = T(a)
a^2 = ma + b
La pendiente de la recta es m = (a^2 - b)/a.
Pero necesito otra ecuación, para tener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y poder calcular m y b.
Ya intenté calculando m con usando distintos puntos: (0, b) y (-b/m, 0) y (a, a^2), pero no llego a nada.
2 Respuestas
Norberto Pesce, en tu respuesta usas lo que se pide demostrar, que en el punto la recta y = mx+b es tangente a la gráfica de f.
Igual agradezco la intención de apoyar.
Ya lo logré resolver, por reducción al absurdo; suponiendo que mx + b no es la recta tangente a la gráfica y llegué a que corta a la gráfica en dos puntos, lo que contradice la hipótesis.
Si: I(x) = mx+b; y además: f(x) = x^2; hay dos cosas que ambas funciones comparten en el punto único de contacto: 1) el punto y 2) la tangente en el punto (la misma primera derivada)
1) mx+b = x^2
2) Derivo: m=2x;
reemplazo en 1) 2x*x + b = x^2; 2x^2+b=x^2;
b=-x^2
Ya tengo m y b en función de x, obteniendo así la familia de curvas tangentes a f(x).
Una recta no tangente también puede no cortar a f(x) = x^2... - Norberto Pesce
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